Bài 1.11 trang 18 SBT hình học 12

Đề bài

Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác cân, \(AB = AC = 5a,BC = 6a\) và các mặt bên tạo với đáy một góc \({60^0}\). Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

Lời giải chi tiết

Kẻ \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) và \(HA',HB',HC'\) lần lượt vuông góc với \(BC,CA,AB\). Theo định lí ba đường vuông góc ta có \(SA' \bot BC,SB' \bot CA,SC' \bot AB\)

Từ đó suy ra \(\widehat {SA'H} = \widehat {SB'H} = \widehat {SC'H} = {60^0}\).

\( \Rightarrow \Delta SHA' = \Delta SHB' = \Delta SHC'\)\( \Rightarrow HA' = HB' = HC'\)

Do đó \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Do tam giác cân ở \(A\) nên \(AH\) vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.

\( \Rightarrow A,H,A'\) thẳng hàng và \(A'\) là trung điểm của \(BC\).

Tam giác \(\Delta AA'B\) vuông tại \(A'\) nên \(AA{'^2} = A{B^2}-BA{'^2}\) \( = 25{a^2}-9{a^2} = 16{a^2}\) \( \Rightarrow AA' = 4a\)

Gọi \(p\) là nửa chu vi của tam giác \(ABC\), \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(r = HA'\).

Ta có: \(p = \frac{{AB + BC + CA}}{2}\) \( = \frac{{5a + 6a + 5a}}{2} = 8a\)

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AA'.BC = \frac{1}{2}.4a.6a = 12{a^2}\)

Lại có \({S_{ABC}} = pr \Rightarrow 12{a^2} = 8a.r\) \( \Rightarrow r = \dfrac{3}{2}a\)

Tam giác SHA' vuông tại H có \( SH = HA'.\tan {60^0} \) \(= \dfrac{{3a}}{2}\sqrt 3  = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}a\)

Thể tích khối chóp là \(V  = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH\) \(= \dfrac{1}{3}.12{a^2}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}a = 6\sqrt 3 {a^3}\)