Giải bài 1 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Cho \({S_n} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}\) và \({T_n} = {2^{n + 1}} - 1\), với \(n \in \mathbb{N}*\)

a) So sánh \({S_1}\) và \({T_1}\); \({S_2}\) và \({T_2}\);\({S_3}\) và \({T_3}\).

b) Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết

a) \({S_1} = 1 + 2 = 3\); \({T_1} = {2^{1 + 1}} - 1 = 3\)

Do đó \({S_1} = {T_1}\)

\({S_2} = 1 + 2 + {2^2} = 7\); \({T_2} = {2^{2 + 1}} - 1 = 7\)

Do đó \({S_2} = {T_2}\)

\({S_3} = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} = 15\); \({T_3} = {2^{3 + 1}} - 1 = 15\)

Do đó \({S_3} = {T_3}\)

b) Dự doán: \({S_n} = {T_n}\) từ đó có công thức tính \({S_n} = {2^{n + 1}} - 1\)

Chứng minh:

Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({S_1} = {T_1} = {2^2} - 1\) đúng

Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

\({S_{k + 1}} = {2^{(k + 1) + 1}} - 1\) hay \({S_{k + 1}} = {2^{k + 2}} - 1\)

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

\({S_k} = {2^{k + 1}} - 1\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{k + 1}} = {S_k} + {2^{k + 1}}\\ = {2^{k + 1}} - 1 + {2^{k + 1}} = {2.2^{k + 1}} - 1 = {2^{k + 2}} - 1\end{array}\)

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).