Giải đề thi học kì 1 toán lớp 12 năm 2020 - 2021 trường THPT Đại Từ

Đề bài

I - PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm).

Chú ý: Học sinh làm phần trắc nghiệm bằng cách tô phiếu trả lời trắc nghiệm.

Câu 1. Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).               

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).                  

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

Câu 2. Khối chóp tứ giác đều có mặt đáy là

A. Tứ giác             B. Hình chữ nhật           

C. Tam giác đều    D. Hình vuông

Câu 3. Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

 

A. \(y = {x^4} + {x^2} + 2\)            

B. \(y = {x^4} - {x^2} + 2\)

C. \(y = {x^4} - {x^2} + 1\)   

D. \(y = {x^4} + {x^2} + 1\)

Câu 4. Tìm \(b\)để đồ thị hàm số \(y = 2{x^4} + b{x^2} + 1\) có \(3\) cực trị

A. \(b > 0\)           B. \(b < 0\)                    

C. \(b = 0\)           D. \(b \ne 0\)

Câu 5. Số điểm chung của đồ thị hàm số \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\) và trục hoành là

A. \(1\)        B. \(2\)        C. \(3\)        D. \(4\)

Câu 6. Tập nghiệm của phương trình \({\log _2}x = 5\) là

A. \(\left\{ 1 \right\}\)       B. \(\left\{ 5 \right\}\)  

C. \(\left\{ {32} \right\}\)     D. \(\left\{ {25} \right\}\)

Câu 7. Cho \(a\) là số thực dương khác \(1\). Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương \(x,y\) ?

A. \({\log _a}\dfrac{x}{y} = {\log _a}x + {\log _a}y\)

B. \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x{\log _a}y\)

C. \({\log _a}\dfrac{x}{y} = {\log _a}\left( {x - y} \right)\)

D. \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\)

Câu 8. Hàm số \(y =  - {x^4} + 3{x^2} - 1\) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. \(2\)        B. \(1\)        C. \(3\)        D. \(0\)

Câu 9. Nếu \({\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^n}\) thì ta kết luận gì về \(m\) và \(n\) ?

A. \(m = n\)                    B. \(m > n\)         

C. \(m \le n\)                  D. \(m < n\)

Câu 10. Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {x^\alpha }\), với \(\alpha \) là số nguyên âm?

A. \(D = \left( { - \infty ;0} \right)\) B. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)       

C. \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) D. \(D = \mathbb{R}\)

Câu 11. Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có chiều cao \(h\), độ dài đường sinh \(l\), bán kính đáy \(r\). Ký hiệu \({S_{tp}}\) là diện tích toàn phần của \(\left( T \right)\). Công thức nào sau đây là đúng?

A. \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\)

B. \({S_{tp}} = \pi rl\)

C. \({S_{tp}} = \pi rl + 2\pi r\)

D. \({S_{tp}} = 2\pi rl + 2\pi {r^2}\)

Câu 12. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ

 

Mệnh đề nào sai?

A. Hàm số có ba điểm cực trị                     

B. Hàm số có giá trị cực đại bằng \(3\)

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 

D. Hàm số có hai điểm cực tiểu

Câu 13. Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 3}}{{2x + 1}}\) có tâm đối xứng là

A. \(I\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)     B. \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)                  

C. \(I\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)\) D. Không có tâm đối xứng

Câu 14. Số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{x}{{x - 1}}\) là

A. \(2\)        B. \(3\)        C. \(1\)        D. \(4\)

Câu 15. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên

 

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)                B. \(\left( {1; + \infty } \right)\)                 

C. \(\left( { - 1;0} \right)\)                 D. \(\left( {0;1} \right)\)

Câu 16. Số nghiệm của phương trình: \({9^x} + {6^x} = {2.4^x}\) là

A. \(2\)        B. \(1\)        C. \(3\)        D. \(0\)

Câu 17. Nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {{{7.10}^x} - {{5.25}^x}} \right) > 2x + 1\) là

A. \(\left( {0;1} \right)\)                    B. \(\left( { - 1;0} \right)\)                

C. \(\left[ { - 1;0} \right]\)                 D. \(\left[ { - 1;0} \right)\)

Câu 18. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(\Delta SAB\) đều cạnh \(2a\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\); \(ABCD\) là hình vuông. Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là

A. \(\dfrac{{4\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)              B. \(4\sqrt 3 {a^3}\)               

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)                D. \(\dfrac{{4\sqrt 3 {a^3}}}{6}\)

Câu 19. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Khi tăng cạnh của hình lập phương lên \(5\) lần thì ta được thể tích của hình lập phương mới là

A. \(25{a^3}\)                B. \(125{a^3}\)             

C. \(5{a^3}\)                  D. \({a^3}\)

Câu 20. Rút gọn biểu thức \(Q = {b^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{b}\) với \(b > 0\).

A. \(Q = {b^2}\)            B. \(Q = {b^{ - \frac{4}{3}}}\)                

C. \(Q = {b^{\frac{5}{9}}}\)          D. \(Q = {b^{\frac{4}{3}}}\)

Câu 21. Nếu \(\log 3 = a\) thì \(\log 9000\) bằng

A. \({a^2} + 3\)              B. \(2a + 3\)                  

C. \(2{a^3}\)                  D. \({a^3}\)

Câu 22. Cho hình nón \(\left( N \right)\)có đường sinh bằng \(9cm\), chiều cao bằng \(3cm\). Thể tích của hình nón \(\left( N \right)\) là

A. \(\sqrt {72} \pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)         B. \(27\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)           

C. \(72\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)            D. \(216\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)

Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{{x^2} - x}} \ge \dfrac{1}{4}\) có dạng \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó \(a + b\) bằng

A. \(1\)                 B. \(2\)                          

C. \( - 2\)              D. \(3\)

Câu 24. Cho khối chóp \(S.ABC\). Trên \(3\) cạnh \(SA,SB,SC\) lần lượt lấy \(3\) điểm \(A',B',C'\) sao cho \(SA' = \dfrac{1}{3}SA;\) \(SB' = \dfrac{1}{4}SB;\)\(SC' = \dfrac{1}{2}SC\). Gọi \(V\) và \(V'\) lần lượt là thể tích của khối chóp \(S.ABC\) và \(S.A'B'C'\). Khi đó tỉ số \(\dfrac{{V'}}{V}\) là

A. \(24\)                         B. \(12\)

C. \(\dfrac{1}{{24}}\)                       D. \(\dfrac{1}{{12}}\)

Câu 25. Phương trình \(\log \left( {x + 1} \right) + \log \left( {x + 3} \right) = \log \left( {x + 7} \right)\) có nghiệm là

A. \(x = 3\)           B. \(x = 2\)

C. \(x = 1\)           D. \(x = 0\)

Câu 26. Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\), đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AA' = a\sqrt 3 \), \(AB = BC = 2a\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

A. \(2{a^3}\sqrt 3 \)                B. \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)                D. \({a^3}\sqrt 3 \)

Câu 27. Một khối trụ \(\left( T \right)\) có thể tích bằng \(81\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\) và có đường sinh gấp ba lần bán kính đáy. Độ dài đường sinh của \(\left( T \right)\) là

A. \(6\,\,\left( {cm} \right)\)               B. \(9\,\,\left( {cm} \right)\)

C. \(3\,\,\left( {cm} \right)\)               D. \(12\,\,\left( {cm} \right)\)

Câu 28. Đáy của hình chóp \(S.ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy có độ dài bằng \(a\). Thể tích khối tứ diện \(S.BCD\) là

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{8}\)                  B. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)       

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)                  D. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)

Câu 29. Cho phương trình \({25^x} + {5.5^{x + 1}} - 3 = 0\). Khi đặt \(t = {5^x}\), ta được phương trình nào dưới đây?

A. \(2{t^2} - 3 = 0\)      

B. \(4t - 3 = 0\)

C. \({t^2} + 5t - 3 = 0\) 

D. \({t^2} + 25t - 3 = 0\)

Câu 30. Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x - {m^2}}}{{x + 1}}\) trên \(\left[ {0;1} \right]\) là

A. \(\dfrac{{1 + {m^2}}}{2}\)           B. \( - {m^2}\)

C. \(\dfrac{{1 - {m^2}}}{2}\)           D. Đáp án khác

Câu 31. Phương trình \({\log _3}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) - 2x - 1 = 0\) tương đương với phương trình nào sau đây?

A. \({3.2^x} - 1 = {3^{2x + 1}}\)     

B. \({3.2^x} - 1 = {3^{2x - 1}}\)      

C. \({3.2^x} - 1 = 2x - 1\)       

D. \({3.2^x} - 1 = 2x + 1\)

Câu 32. Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat {CBA} = 60^\circ \) và thể tích bằng \(3{a^3}\). Tính chiều cao \(h\) của hình hộp đã cho.

A. \(h = 3a\)                   B. \(h = \sqrt 3 a\)

C. \(h = 2\sqrt 3 a\)              D. \(h = 4\sqrt 3 a\)

Câu 33. Cho khối chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy, tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(AB = a,BC = 2a\), góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và mặt đáy bằng \(30^\circ \). Khi đó thể tích khối chóp đã cho là

A. \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)              B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)                D. \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)

Câu 34. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), hàm số \(f'\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\,\,\)\(\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có đồ thị như hình vẽ

 

Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {f'\left( x \right)} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)      B. \(\left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3};\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)

C. \(\left( {1; + \infty } \right)\)        D. \(\left( { - 1;0} \right)\)

Câu 35. Cho hàm số \(y = \dfrac{{3x - 1}}{{x - 3}}\,\,\left( C \right)\). Gọi \(M\) là điểm bất kì trên \(\left( C \right)\), \(d\) là tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai đường tiệm cận của đồ thị \(\left( C \right)\). Giá trị nhỏ nhất của \(d\) là

A. \(2\)                           B. \(2\sqrt 2 \)

C. \(6\)                           D. \(4\sqrt 2 \)

Câu 36. Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới.

 

Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) - m} \right|\) có ba điểm cực trị là

A. \(m \le  - 1\) hoặc \(m \ge 3\)

B. \(m \le  - 3\) hoặc \(m \ge 1\)

C. \(m =  - 1\) hoặc \(m = 3\)

D. \(1 \le m \le 3\)

Câu 37. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với đáy, thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

A. \(\dfrac{{2a}}{3}\)                B. \(\dfrac{{3a}}{2}\)   

C. \(\dfrac{a}{3}\)                   D. \(\dfrac{{4a}}{3}\)

Câu 38. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(m{.2^{{x^2} - 3x + 2}} + {2^{4 - {x^2}}} = {2^{6 - 3x}} + m\) có đúng \(3\) nghiệm thực phân biệt.

A. \(1\)        B. \(2\)        C. \(3\)        D. \(4\)

Câu 39. Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\) thì hàm số \(y = f\left( {x + 2} \right)\) đồng biến trên khoảng nào?

A. \(\left( { - 2;4} \right)\)                 B. \(\left( { - 1;2} \right)\)

C. \(\left( {1;4} \right)\)                    D. \(\left( { - 3;0} \right)\)

Câu 40. Đường thẳng \(y = m\) và đường cong \(y =  - {x^4} + 4{x^2} + 2\) có bốn điểm chung khi

A. \(0 < m < 4\)    B. \(0 \le m < 4\)

C. \(2 < m < 6\)    D. \(0 \le m \le 6\)

II - PHẦN TỰ LUẬN (2,0 điểm).

Bài 1: (1 điểm): Giải phương trình: \({4^x} - {3.2^x} + 2 = 0\)

Bài 2: (1 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = 3a,\,\,AC = a\sqrt {10} \), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA = 2a\). Gọi \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(DC\) sao cho \(DC = 3DM\).

a) Tính thể tích của hình chóp \(S.ABCD\).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường \(BM\) và \(SD\).

Lời giải chi tiết

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Tính đạo hàm, tìm khoảng đồng biến, nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 6x\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Bảng xét dấu đạo hàm:

 

Từ bảng xét dấu, suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right)\).

Chọn A

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

Dựa vào định nghĩa hình chóp tứ giác đều.

Cách giải:

Hình chóp tứ giác đều có mặt đáy là hình vuông. Nên khối chóp có mặt đáy là hình vuông.

Chọn D

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Xác định giao điểm của đồ thị và trục Oy. Điểm cực trị của đồ thị.

Cách giải:

Đồ thị có điểm cự tiểu duy nhất là \(\left( {0;1} \right)\). Loại A,B.

Đáp án C có 2 điểm cực trị nên loại.

Đáp án D: Có điểm cực tiểu là \(\left( {0;1} \right)\). Thỏa mãn.

Chọn D

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Tính đạo hàm. Hàm bậc bốn trùng phương có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}y' = 6{x^3} + 2bx\\y' = 0(1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\6{x^2} + 2b = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} =  - \dfrac{b}{3}(2)\end{array} \right.\end{array}\)

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi (1) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0\( \Leftrightarrow b < 0\).

Chọn B

Câu 5 (TH):

Phương pháp:

Số điểm chung của \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\).

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của hàm số đã cho và trục hoành là

\(\begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\end{array}\)

Vậy số điểm chung của đồ thị và trục hoành là 3

Chọn C

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

\({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\)

Cách giải:

TXĐ: \({\rm{D}} = \left( {0; + \infty } \right)\)

\({\log _2}x = 5 \Leftrightarrow x = {2^5} = 32\)

Chọn

Câu 7 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của logarit.

Cách giải:

Với \(a > 0,a \ne 1,x > 0,y > 0\), ta có: \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\)

Chọn D

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Tìm số nghiệm của \(y' = 0\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}y' =  - 4{x^3} + 6x\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt {\dfrac{3}{2}} \\x =  - \sqrt {\dfrac{3}{2}} \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.

Chọn C

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

\(\begin{array}{l}a > 1,{a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\\0 < a < 1,{a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\end{array}\)

Cách giải:

Ta có \(0 < \sqrt 2  - 1 < 1\) nên \({\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^n} \Leftrightarrow m > n\).

Chọn B

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Tập xác định của hàm số \(y = {x^\alpha },\alpha  \in {\mathbb{Z}^ - }\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Cách giải:

Tập xác định của hàm số \(y = {x^\alpha },\alpha  \in {\mathbb{Z}^ - }\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Chọn B

Câu 11 (TH):

Phương pháp:

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d}\)

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{S_{xq}} = 2\pi rl,{S_d} = \pi {r^2}\\ \Rightarrow {S_{tp}} = 2\pi rl + 2\pi {r^2}\end{array}\)

Chọn D

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Đạo hàm đổi dấu qua x thì x là điểm cực trị của hàm số.

Giá trị cực đại (tiểu) của hàm số là giá trị y tại x sao cho đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm(âm sang dương) khi qua x.

Cách giải:

Giá trị cực đại của hàm số bằng 3 nên C là đáp án sai.

Chọn C

Câu 13 (TH):

Phương pháp:

Tâm đối xứng của đồ thị \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Cách giải:

Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận là \(x =  - \dfrac{1}{2},y = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow I\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\) là tâm đối xứng.

Chọn A

Câu 14 (TH):

Phương pháp:

Tìm tập xác định của hàm số. Tìm đường tiệm cận đứng.

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y\). Tìm đường tiệm cận ngang.

Cách giải:

TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty \). Đồ thị có tiệm cận đứng \(x = 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 1\). Đồ thị có tiệm cận ngang \(y = 1\).

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

Chọn A

Câu 15 (NB):

Phương pháp:

Đạo hàm mang dấu dương thì hàm số đồng biến, mang dấu âm thì hàm số nghịch biến.

Cách giải:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( {0;1} \right)\).

Chọn D

Câu 16 (VD):

Phương pháp:

Chia cả 2 vế cho \({4^x}\). Đặt \({\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x} = t\left( {t > 0} \right)\), đưa về phương trình ẩn t. Giải ra t thỏa mãn điều kiện rồi tìm x.

Cách giải:

Chia cả 2 vế cho \({4^x}\), ta được \({\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{2x}} + {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x} - 2 = 0\).

Đặt \({\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x} = t\left( {t > 0} \right)\), phương trình trên trở thành \({t^2} + t - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {TM} \right)\\t =  - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Chọn B

Câu 17 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng:

\(\begin{array}{l}a > 1,{\log _a}x > b \Leftrightarrow x > {a^b}\\0 < a < 1,{\log _a}x > b \Leftrightarrow 0 < x < {a^b}\end{array}\)

Chia 2 vế bất phương trình nhận được cho \({4^x}\). Đặt \({\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^x} = t\left( {t > 0} \right)\), đưa về bất phương trình ẩn t, giải ra t rồi tìm x.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {{{7.10}^x} - {{5.25}^x}} \right) > 2x + 1\\ \Leftrightarrow {7.10^x} - {5.25^x} > {2^{2x + 1}}\\ \Leftrightarrow {5.25^{\rm{x}}} - {7.10^x} + {2.4^{\rm{x}}} < 0\end{array}\)

Chia cả 2 vế cho \({4^x}\) ta được: \(5.{\left( {\dfrac{{25}}{4}} \right)^x} - 7.{\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^x} + 2 < 0\).

Đặt \({\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^x} = t\left( {t > 0} \right)\), bất phương trình trở thành \(5{t^2} - 7t + 2 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{5} < t < 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^{ - 1}} < {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^x} < {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^0} \Leftrightarrow  - 1 < x < 0\).

Chọn B

Câu 18 (VD):

Phương pháp:

Tính chiều cao h và diện tích đáy B.

\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}h.B\)

Cách giải:

 

\(\Delta SAB\) đều nên \(SE \bot \left( {ABCD} \right)\), E là trung điểm của AB.

\(SE = \dfrac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \),\({S_{ABCD}} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .4{a^2} = \dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

Chọn A

Câu 19 (TH):

Phương pháp:

\(\begin{array}{l}{V_{lp}} = {a^3}\\\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = {\left( {\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}}} \right)^3}\end{array}\)

Cách giải:

Gọi \({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích hình lập phương trước và sau khi tăng độ dài cạnh.

\(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = {\left( {\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^3}\)

\({V_1} = {a^3}\)\( \Rightarrow {V_2} = 125{a^3}\)

Chọn B

Câu 20 (TH):

Phương pháp:

\({b^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{b}\)(\(b > 0,n \ge 2,n \in \mathbb{N}\))

Cách giải:

\(Q = {b^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{b} = {b^{\frac{5}{3}}}:{b^{\frac{1}{3}}} = {b^{\frac{5}{3} - \frac{1}{3}}} = {b^{\frac{4}{3}}}\)

Chọn D

Câu 21 (VD):

Phương pháp:

\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _x}y\)\(\left( {x,y > 0,a > 0,a \ne 1} \right)\)

\({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\left( {a,b > 0,a \ne 1} \right)\)

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\log 9000 = \log 9 + \log 1000\\ = \log {3^2} + 3 = 2\log 3 + 3 = 2a + 3\end{array}\)

Chọn B

Câu 22 (TH):

Phương pháp:

\(r = \sqrt {{l^2} - {h^2}} \), \(l\) là đường sinh, \(r\) là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao.

\({V_{\left( N \right)}} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Cách giải:

\(r = \sqrt {{l^2} - {h^2}}  = \sqrt {{9^2} - {3^2}}  = 6\sqrt 2 cm\)

\(\begin{array}{l}{V_{\left( N \right)}} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}.\pi .{\left( {6\sqrt 2 } \right)^2}.3\\ = 72\pi \left( {c{m^3}} \right)\end{array}\)

Chọn C

Câu 23 (VD):

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số:

\(\begin{array}{l}a > 1,{a^{f\left( x \right)}} \ge {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\\0 < a < 1,{a^{f\left( x \right)}} \ge {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) \le g\left( x \right)\end{array}\)

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{{x^2} - x}} \ge \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{{x^2} - x}} \ge {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x \le 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0\\ \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a =  - 1;b = 2\\ \Rightarrow a + b = 1\end{array}\)

Chọn A

Câu 24 (TH):

Phương pháp:

Công thức Simson:\(\dfrac{{V'}}{V} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)

Cách giải:

 

\(\dfrac{{V'}}{V} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{24}}\)

Chọn C

Câu 25 (TH):

Phương pháp:

Tìm điều kiện xác định.

\(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b\left( {a,b > 0} \right)\)

Cách giải:

ĐKXĐ: \(x >  - 1\).

\(\begin{array}{l}\log \left( {x + 1} \right) + \log \left( {x + 3} \right) = \log \left( {x + 7} \right)\\ \Leftrightarrow \log \left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) = \log \left( {x + 7} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = x + 7\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn C

Câu 26 (NB):

Phương pháp:

\(V = h.{S_{\Delta ABC}}\), h là chiều cao.

Cách giải:

 

\(\begin{array}{l}V = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a\sqrt 3 .\dfrac{1}{2}.{\left( {2{\rm{a}}} \right)^2}\\ = 2{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 \end{array}\)

Chọn A

Câu 27 (TH):

Phương pháp:

\(V = \pi {r^2}h\), r là bán kính đáy, h là chiều cao.

Cách giải:

Đường sinh của khối trụ là chiều cao của khối trụ.

Ta có \(h = 3r \Rightarrow r = \dfrac{h}{3}\)

\(V = \pi {r^2}h\)\( = \pi \dfrac{{{h^3}}}{9} = 81\pi \)\( \Rightarrow h = 9cm\)

Chọn B

Câu 28 (TH):

Phương pháp:

\(V = \dfrac{1}{3}h.B\), h là chiều cao, B là diện tích đáy.

\({S_{BCD}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}}\)

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{S_{BCD}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{S.BCD}} = \dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}}\\ = \dfrac{1}{6}.a.{a^2} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\end{array}\)

Chọn D

Câu 29 (NB):

Phương pháp:

\({\left( {{a^2}} \right)^x} = {\left( {{a^x}} \right)^2}\).

Đưa phương trình về phương trình ẩn t

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{25^x} + {5.5^{x + 1}} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{5^x}} \right)^2} + {25.5^x} - 3 = 0\end{array}\)

Đặt \({5^x} = t\left( {t > 0} \right)\), phương trình trở thành: \({t^2} + 25t - 3 = 0\)

Chọn D

Câu30 (VD):

Phương pháp:

Tính y’. Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số. Tìm GTLN của hàm số theo m.

Cách giải:

\(y' = \dfrac{{{m^2} + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Suy ra hàm đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\).

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = f\left( 1 \right) = \dfrac{{1 - {m^2}}}{2}\)

Chọn C

Câu 31 (TH):

Phương pháp:

\({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\)

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) - 2x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = 2x + 1\\ \Leftrightarrow {3.2^x} - 1 = {3^{2x + 1}}\end{array}\)

Chọn A

Câu 32 (VD):

Phương pháp:

Tính diện tích đáy.

\(h = \dfrac{V}{B}\) , h là chiều cao, B là diện tích đáy.

Cách giải:

Đáy ABCD là hình thoi cạnh a có:

 \(\begin{array}{l}\widehat {CBA} = 60^\circ  \Rightarrow AC = AB = a,BD = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

\(h = \dfrac{V}{{{S_{ABC{\rm{D}}}}}} = \dfrac{{3{{\rm{a}}^3}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = 2{\rm{a}}\sqrt 3 \)

Chọn C

Câu 33 (VD):

Phương pháp:

Xác định góc giữa (SBC) và (ABC).

Tính SA.

\(V = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}}\)

Cách giải:

 

\(BC = \left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right);BC \bot \left( {SAB} \right)\)

\(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB;\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\)

Suy ra góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SB,AB\) và bằng \(\widehat {SBA}\)

\( \Rightarrow \widehat {SBA} = 30^\circ  \Rightarrow SA = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABC}}\\ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{1}{2}.a.2a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\end{array}\)

Chọn B

Câu 34 (VDC):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm \(\left( { - 1;0} \right),\left( {0;0} \right),\left( {1;0} \right)\) tìm \(f'\left( x \right)\).

Tính đạo hàm \(g'\left( x \right)\). Xét khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số trên các khoảng đề bài cho.

Cách giải:

Thay tọa độ các điểm \(\left( { - 1;0} \right),\left( {0;0} \right),\left( {1;0} \right)\)  vào \(f'\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) ta được :

\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 + a - b + c = 0\\1 + a + b + c = 0\\c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b =  - 1\\c = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^3} - x\)

\(f''\left( x \right) = 3{x^2} - 1\)

\(g'\left( x \right) = f''\left( x \right).f'\left( {f'\left( x \right)} \right)\)

Xét đáp án A: \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) < f'\left( { - 2} \right) =  - 6\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( {f'\left( x \right)} \right) < f'\left( { - 6} \right) < 0\\f''\left( x \right) > f''\left( { - 2} \right) > 0\\ \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\left( {TM} \right)\end{array}\)

Tương tự với các đáp án B,C,D.

Chọn A

Câu 35 (VD):

Phương pháp:

Tìm đường tiệm cận của (C).

Tọa độ hóa điểm M.

Cách giải:

\(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt là: \(x = 3,y = 3\).

Gọi \(M\left( {{x_0};\dfrac{{3{x_0} - 1}}{{{x_0} - 3}}} \right)\),\({x_0} \ne 3\). Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là \(\left| {\dfrac{{3{x_0} - 1}}{{{x_0} - 3}} - 3} \right| = \left| {\dfrac{8}{{{x_0} - 3}}} \right|\)

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là \(\left| {{x_0} - 3} \right|\)

\(d = \left| {{x_0} - 3} \right| + \dfrac{8}{{\left| {{x_0} - 3} \right|}} \le 2\sqrt 8  = 4\sqrt 2 \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {{x_0} - 3} \right| = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3 + 2\sqrt 2 \\{x_0} = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Chọn D

Câu 36 (VD):

Phương pháp:

Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) - m} \right|\) bằng số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right) - m\) + số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\).

Cách giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị khác 0 suy ra hàm số \(y = f\left( x \right) - m\) cũng có 2 điểm cực trị khác 0.

Để hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) - m} \right|\) có 3 điểm cực trị thì phương trình \(f\left( x \right) = m\) có đúng 1 nghiệm khác 2 điểm cực trị trên hoặc có 2 nghiệm, trong đó có 1 nghiệm trùng với điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right) - m\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le  - 3\end{array} \right.\)

Chọn B

Câu 37 (VD):

Phương pháp:

Tính SA. Dựng đường cao từ A đến (SBD) và tính độ dài đường cao đó.

Cách giải:

\(SA = \dfrac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{2{{\rm{a}}^3}}}{3}.\dfrac{3}{{{a^2}}} = 2{\rm{a}}\)

Gọi O là giao điểm của \(AC,BD\)\( \Rightarrow AO \bot BD\). Mặt khác ta có \(SA \bot BD\)

\( \Rightarrow BD \bot \left( {SAO} \right) \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {SAO} \right)\). Kẻ \(AH \bot SO \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right)\)\( \Rightarrow AH = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{O^2}}} = \dfrac{1}{{4{a^2}}} + \dfrac{2}{{{a^2}}} = \dfrac{9}{{4{a^2}}}\\ \Rightarrow AH = \dfrac{{3a}}{2} \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{3a}}{2}\end{array}\)

Chọn A

Câu 38 (VDC):

Phương pháp:

Đặt \({2^{{x^2} - 3{\rm{x}} + 2}} = a;{2^{4 - {x^2}}} = b\left( {a > 0,b > 0} \right)\). Tìm a và b. biết rằng \(ab = {2^{6 - 3x}}\).

Cách giải:

Đặt \({2^{{x^2} - 3{\rm{x}} + 2}} = a;{2^{4 - {x^2}}} = b\left( {a > 0,b > 0} \right)\),

phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}m.a + b = ab + m\\ \Leftrightarrow m\left( {a - 1} \right) - b\left( {a - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - b} \right)\left( {a - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = m\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{4 - {x^2}}} = m\left( * \right)\\{2^{{x^2} - 3x + 2}} = 1\end{array} \right.\end{array}\)

+) \({2^{{x^2} - 3{\rm{x}} + 2}} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

+) \({2^{4 - {x^2}}} = m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\4 - {x^2} = {\log _2}m\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{x^2} = 4 - {\log _2}m\end{array} \right.\left( * \right)\)

Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm thực thì \(\left( * \right)\) có nghiệm duy nhất bằng 0 hoặc có 2 nghiệm phân biệt, 1 nghiệm bằng 1 hoặc bằng 2 và 1 nghiệm khác 1 và khác 2.

Tức là,

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\4 - {\log _2}m \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}4 - {\log _2}m = 0\\1 = 4 - {\log _2}m\\4 = 4 - {\log _2}m\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{\log _2}m \le 4\\\left[ \begin{array}{l}m = 16\\m = 8\\m = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 16\\m = 8\\m = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn C

Câu 39 (TH):

Phương pháp:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0\forall x \in A\\ \Rightarrow y = f\left( {u\left( x \right)} \right) > 0\forall u\left( x \right) \in A\end{array}\)

Cách giải:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0\forall x \in \left( { - 1;2} \right)\\ \Rightarrow f'\left( {x + 2} \right) > 0\forall \left( {x + 2} \right) \in \left( { - 1;2} \right)\\ \Leftrightarrow f'\left( {x + 2} \right) > 0\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\end{array}\)

Chọn D

Câu 40 (VD):

Phương pháp:

Lập bảng biến thiên của hàm số \(y =  - {x^4} + 4{x^2} + 2\). Dựa vào bảng biến thiên xác định số giao điểm.

Cách giải:

\(y' =  - 4{x^3} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

 

Từ bảng biến thiên, đồ thị và đường thẳng \(y = m\) có 4 điểm chung khi và chỉ khi \(2 < m < 6\)

Chọn C

PHẦN I: TỰ LUẬN

Câu 1.(VD)

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ \({2^x} = t\), tìm điều kiện của t đưa về phương trình ẩn t.

Tìm t thỏa mãn điều kiện rồi tìm x.

Lời giải:

Đặt \({2^x} = t\left( {t > 0} \right)\), phương trình đã cho trở thành

\({t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {TM} \right)\\t = 2\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = 1 \Rightarrow x = 0\)

Với \(t = 2 \Rightarrow x = 1\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \({\rm{S = }}\left\{ {0;1} \right\}\)

Câu 2(VD):

Phương pháp:

a)

Tính BC. Công thức tính thể tích:\(V = \dfrac{1}{3}h.S,\) với h là chiều cao của hình chóp, S là diện tích đáy.

b)  Dựng mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa SD và song song với MB. Lập các tỷ số giữa \(d\left( {SD,MB} \right)\), \(d\left( {B,\left( \alpha  \right)} \right)\) và \(d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right)\).

Tính khoảng cách \(d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right)\).

Lời giải:

 

a) Ta có: ABCD là hình chữ nhật có

\(AB = 3a,AC = a\sqrt {10}  \Rightarrow BC = a\)

\(V = \dfrac{1}{3}h.S = \dfrac{1}{3}.2a.a.3a = 2{a^3}\)

b)Trong (ABCD), kẻ \(DN//BM\)

\( \Rightarrow BM//\left( {SDN} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {MB,S{\rm{D}}} \right) = d\left( {B,\left( {SDN} \right)} \right)\)

Ta có BM//DN nên BMDN là hình bình hành

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BN = MD = \dfrac{1}{3}CD = \dfrac{1}{3}AB\\ \Rightarrow BN = \dfrac{1}{2}AN\end{array}\)

\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {SDN} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {SDN} \right)} \right)\)

Trong (ABCD), kẻ \(AH \bot DN,AK \bot SH\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {SAH} \right) \bot DN \Rightarrow \left( {SAH} \right) \bot \left( {SDN} \right)\\ \Rightarrow AK \bot \left( {SDN} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow AK = d\left( {A,\left( {SDN} \right)} \right)\)

Xét tam giác vuông AND, có \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{N^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{1}{{4{{\rm{a}}^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{5}{{4{{\rm{a}}^2}}}\)

Xét tam giác vuông SAH có \(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} + \dfrac{1}{{S{A^2}}} = \dfrac{5}{{4{{\rm{a}}^2}}} + \dfrac{1}{{4{{\rm{a}}^2}}} = \dfrac{3}{{2{{\rm{a}}^2}}}\)\( \Rightarrow AK = \sqrt {\dfrac{2}{3}} a\)\( \Rightarrow d\left( {BM,SD} \right) = \dfrac{1}{2}.\sqrt {\dfrac{2}{3}} a = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)(đvđd)