Đề kiểm tra giữa kì I Toán 7 - Đề số 5 có lời giải chi tiết

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM Khoanh tròn trước câu trả lời đúng.

Câu 1. Kết quả của phép tính \(\frac{{ - 1}}{4} - \frac{3}{{ - 8}}\) là bao nhiêu ?

     A. \(\frac{{ - 5}}{8} \cdot \)                                          B. \(\frac{{ - 1}}{8} \cdot \) C. \(\frac{{ - 1}}{3} \cdot \)                                             D. \(\frac{1}{8} \cdot \)

Câu 2 . Giá trị của \(x\) thỏa mãn đẳng thức \({2^x} = {\left( {{2^2}} \right)^3}\) là

     A. \(5.\)                             B. \(6.\)                                   C. \({2^6}.\)                             D. \(8.\)

Câu 3. Giá trị của \(x\) thỏa mãn tỉ lệ thức \(\frac{x}{{16}} = \frac{3}{8}\) là

     A. \(6.\)                             B. \( - 6.\)                                C. \(2.\)                                   D. \(3.\)

Câu 4. Cho \(\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{{2a - 3b}}{?} \cdot \) Biểu thức cần điền vào dấu “ ? ” là biểu thức nào sau đây ?

     A. \(2m + 3n.\)                 B. \(2m - 3n.\)                         C. \(2n + 3m.\)                        D. \(2n - 3m.\)

Câu 5. Làm tròn số \(2,345\) đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy ta được kết quả là bao nhiêu ?

     A. \(2,34.\)                        B. \(2,35.\)                              C. \(2,30.\)                              D. \(2,4.\)

Câu 6. Đường thẳng \(xx'\) cắt đường thẳng \(yy'\) tại \(O,\) biết \(\widehat {xOy'} = 50^\circ ,\) số đo góc \(x'Oy\) bằng bao nhiêu ?

     A. \(140^\circ .\)                B. \(130^\circ .\)                     C. \(40^\circ .\)                       D.\(50^\circ .\)

Câu 7. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng sẽ

     A. song song với nhau   B. vuông góc với nhau      C. trùng nhau              D. cắt nhau

Câu 8. Tổng các góc ngoài của một tam giác bằng bao nhiêu độ ?

     A. \(90^\circ .\)                 B. \(180^\circ .\)                     C. \(360^\circ .\)                     D. \(270^\circ .\)

PHẦN II: TỰ LUẬN (6 điểm).

Câu 1 (2 điểm) Thực hiện phép tính:

     a) \(A = \frac{{ - 5}}{3} \cdot \frac{3}{{11}} + \frac{{ - 13}}{{18}} \cdot \frac{3}{{11}}\)                             b) \(B = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^{30}}{{.15}^5}}}{{{{25}^7}.{{\left( { - 9} \right)}^2}}}\)

Câu 2 (1,5 điểm)

a)  Lập tất cả các tỉ lệ thức từ đẳng thức \(13.18 = 9.26\).

b) Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d},\) chứng minh rằng \(\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}} \cdot \)

c) Cho \(x,y,z\) thỏa mãn \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6}\) và \(x - 2y + 3z =  - 33.\) Tìm giá trị của \(x,y,z.\)

Câu 3 (1,5 điểm)

a) Cho hình vẽ. Biết \(Bx//Oz,\,Oz//Ny\) và \(\widehat {xBO} = 130^\circ ,\widehat {ONy} = 140^\circ .\) Tính \(\widehat {NOB}.\)

 

b) Cho \(5\) đường thẳng phân biệt sao cho không có \(2\) đường thẳng nào song song. Chứng minh tồn tại một cặp đường thẳng tạo với nhau một góc không quá \(36^\circ .\)

Câu 4 (1,0 điểm) Tìm hai số khác \(0\) biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với \(5,1,12.\)

Lời giải chi tiết

I: TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Phương pháp:

- Viết phân số thứ hai thành phân số có mẫu số dương

- Tìm mẫu số chung.

- Thực hiện phép tính với tử, giữ nguyên mẫu chung rồi chọn đáp án đúng.

Cách giải: \(\frac{{ - 1}}{4} - \frac{3}{{ - 8}} = \frac{{ - 1}}{4} - \frac{{ - 3}}{8} = \frac{{ - 2 + 3}}{8} = \frac{1}{8}\)

Chọn D.

Câu 2: Phương pháp: Vận dụng kiến thức \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\) để tìm giá trị của \(x.\)

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{2^x} = {\left( {{2^2}} \right)^3}\\{2^x} = {2^{2.3}} = {2^6}\\x = 6\end{array}\)

Chọn B.

Câu 3: Phương pháp: Áp  dụng tính chất của tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì \(ad = bc\)

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{16}} = \frac{3}{8}\\x.8 = 16.3\\x = \frac{{16.3}}{8}\end{array}\)

\(x = 6.\) 

Chọn A.

Câu 4: Phương pháp: Áp dụng kiến thức về tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a \pm c}}{{b \pm d}}\) .

Cách giải: Vì \(\frac{a}{m} = \frac{b}{n} \Rightarrow \frac{{2a}}{{2m}} = \frac{{3b}}{{3n}} = \frac{{2a - 3b}}{{2m - 3n}}\)

Vậy \(? = 2m - 3n.\)

Chọn B.

Câu 5: Phương pháp: Áp dụng quy tắc làm tròn số:

- Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại.

- Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại.

 Cách giải:

Số \(2,345\) có chữ số cần bỏ đi bằng 5 nên khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy ta được số \(2,35.\)

Chọn B.

Câu 6: Phương pháp:

- Vẽ hình.

- Vận dụng định lý : Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Cách giải:

 

Ta có : \(Ox\) là tia đối của \(Ox'\); \(Oy\) là tia đối của \(Oy'\) (do cách vẽ)

Vậy \(\widehat {xOy'}\) và \(\widehat {x'Oy}\) là hai góc đối đỉnh

\( \Rightarrow \widehat {xOy'} = \widehat {x'Oy} = 50^\circ .\)

Chọn D.

Câu 7: Phương pháp: Áp dụng quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của ba đường thẳng.

Cách giải:

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Chọn A.

Câu 8: Phương pháp: Áp dụng kiến thức : Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Cách giải:

Giả sử có \(\Delta ABC\)

Góc ngoài tại đỉnh \(A\) bằng \(\widehat B + \widehat C\)

Góc ngoài tại đỉnh \(B\) bằng \(\widehat A + \widehat C\)

Góc ngoài tại đỉnh \(C\) bằng \(\widehat B + \widehat A\)

Tổng ba góc ngoài của tam giác \(ABC\) bằng \(2\left( {\widehat A + \widehat B + \widehat C} \right)\)

Mà \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) nên tổng ba góc ngoài của tam giác bằng \(2.180^\circ  = 360^\circ .\)

Chọn C.

II. TỰ LUẬN

Câu 1: Phương pháp:

a) Áp dụng tính chất : \(a \times b + a \times c = a \times \left( {b + c} \right)\)

b) Sử dụng kiến thức : \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\)

Cách giải:

a) \(A = \frac{{ - 5}}{9} \cdot \frac{3}{{11}} + \frac{{ - 13}}{{18}} \cdot \frac{3}{{11}}\) \(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{ - 5}}{9} + \frac{{ - 13}}{{18}}} \right) \cdot \frac{3}{{11}}\\A = \frac{{ - 10 + \left( { - 13} \right)}}{{18}} \cdot \frac{3}{{11}}\\A = \frac{{ - 23.3}}{{6.3.11}}\\A = \frac{{ - 23}}{{66}}\end{array}\)

b) \(B = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^{30}}{{.15}^5}}}{{{{25}^7}.{{\left( { - 9} \right)}^2}}}\) \(B = \frac{{{3^{30}}{{.15}^5}}}{{{{25}^7}{{.9}^2}}}\) \(\begin{array}{l}B = \frac{{{3^{30}}{{.3}^5}{{.5}^5}}}{{{{\left( {{5^2}} \right)}^7}.{{\left( {{3^2}} \right)}^2}}}\\B = \frac{{{3^{35}}{{.5}^5}}}{{{5^{14}}{{.3}^4}}}\\B = \frac{{{3^{31}}}}{{{5^9}}}\end{array}\)

Câu 2:

Phương pháp:

a) Áp dụng kiến thức : Nếu \(ad = bc\) và \(a,b,c,d \ne 0\) thì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d};\frac{a}{c} = \frac{b}{d};\frac{d}{b} = \frac{c}{a};\frac{d}{c} = \frac{b}{a}.\)

b) Áp dụng tính chất : Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  thì \(ad = bc.\)

c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và chứng minh.

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\)

Cách giải:

a)  Lập tất cả các tỉ lệ thức từ đẳng thức \(13.18 = 9.26\).

Ta lập được các tỉ lệ thức sau :

\(\frac{{13}}{9} = \frac{{26}}{{18}};\frac{{18}}{9} = \frac{{26}}{{13}};\frac{{13}}{{26}} = \frac{9}{{18}};\frac{9}{{13}} = \frac{{18}}{{26}}\)

b) Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d},\) chứng minh rằng \(\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}} \cdot \)

Ta có : \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc\)

Cộng hai vế với \(ac\) ta được: \(ac + ad = ac + bc\) \( \Leftrightarrow a\left( {c + d} \right) = c\left( {a + b} \right)\) hay \(\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}}.\)

c) Cho \(x,y,z\) thỏa mãn \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6}\) và \(x - 2y + 3z =  - 33.\) Tìm giá trị của \(x,y,z.\)

Ta có \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6} \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{{2y}}{{10}} = \frac{{3z}}{{18}}\)

Mà \(x - 2y + 3z =  - 33\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :

\(\frac{x}{3} = \frac{{2y}}{{10}} = \frac{{3z}}{{18}} = \frac{{x - 2y + 3z}}{{3 - 10 + 18}} = \frac{{ - 33}}{{11}} =  - 3\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{3} =  - 3 \Rightarrow x =  - 3.3 =  - 9\\\frac{y}{5} =  - 3 \Rightarrow y =  - 3.5 =  - 15\\\frac{z}{6} =  - 3 \Rightarrow z =  - 3.6 =  - 18\end{array} \right.\)

Vậy giá trị của \(x,y,z\) cần tìm lần lượt là \( - 9, - 15, - 18.\)

Câu 3:

Phương pháp:

a) Vận dụng kiến thức: Khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì tạo thành các cặp góc so le trong bằng nhau, các cặp góc đồng vị bằng nhau hoặc các cặp góc trong cùng phía bù nhau.

b) Lấy một điểm \(O\) bất kì trong mặt phẳng, qua \(O\) dựng các đường thẳng song song với các đường thẳng đã cho. Chứng minh bằng phản chứng, giả sử các góc tạo thành đều lớn hơn \({36^0}\) suy ra điều mâu thuẫn và kết luận.

Cách giải:

a) Cho hình vẽ. Biết \(Bx//Oz,\,Oz//Ny\) và \(\widehat {xBO} = 130^\circ ,\widehat {ONy} = 140^\circ .\) Tính \(\widehat {NOB}.\)

Ta có \(Bx//Oz;\,Oz//Ny\) nên

Vẽ tia \(Oz'\) là tia đối của tia \(Oz\)

Ta có \(Oz'//Bx\) nên \(\widehat {xBO} + \widehat {{O_1}} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía)

Mà \(\widehat {xBO} = 130^\circ \) nên \(\widehat {{O_1}} = 180^\circ  - 130^\circ  = 50^\circ \)

Chứng minh tương tự ta có \(\widehat {ONy} + \widehat {{O_2}} = 180^\circ \) (do \(Oz'//Ny\))
mà \(\widehat {ONy} = 140^\circ \) nên \(\widehat {{O_2}} = 180^\circ  - 140^\circ  = 40^\circ \)

Tia \(Oz'\) chia góc \(NOB\) thành hai góc \({O_1}\) và góc \({O_2}\) nên \(\widehat {NOB} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = 50^\circ  + 40^\circ  = 90^\circ \)

b) Cho \(5\) đường thẳng phân biệt sao cho không có \(2\) đường thẳng nào song song. Chứng minh tồn tại một cặp đường thẳng tạo với nhau một góc không quá \(36^\circ .\)

Lấy một điểm \(O\) bất kì, qua \(O\) kẻ các đường thẳng song song với \(5\) đường thẳng đã cho.

Khi đó tạo thành \(10\) góc tại \(O\) có tổng số đo bằng \({360^0}\), trong đó có \(5\) cặp góc đối đỉnh \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_6}},\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_7}},\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_8}},\) \(\widehat {{O_4}} = \widehat {{O_9}},\widehat {{O_5}} = \widehat {{O_{10}}}\) nên:

\(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} + \widehat {{O_5}}\)\( = \widehat {{O_6}} + \widehat {{O_7}} + \widehat {{O_8}} + \widehat {{O_9}} + \widehat {{O_{10}}} = \frac{{{{360}^0}}}{2} = {180^0}\)

Giả sử không tồn tại cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc không quá \({36^0}\) hay tất cả các góc tạo thành đều lớn hơn \({36^0}\).

Khi đó \(\widehat {{O_1}} > {36^0},\widehat {{O_2}} > {36^0},\widehat {{O_3}} > {36^0},\widehat {{O_4}} > {36^0},\widehat {{O_5}} > {36^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} + \widehat {{O_5}} > {36^0} + {36^0} + {36^0} + {36^0} + {36^0} = {180^0}\)

(mâu thuẫn vì \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} + \widehat {{O_5}} = {180^0}\))

Vậy phải tồn tại một cặp đường thẳng tạo với nhau một góc không quá \({36^0}\).

Câu 4:

Phương pháp: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  thì \(ad = bc.\)

Và  \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\)

Cách giải:

Gọi hai số cần tìm là \(x\) và \(y\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\)

Ta có :

\(\frac{{x + y}}{5} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{xy}}{{12}}\) (*)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{{x + y}}{5} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{x + y + x - y}}{{5 + 1}} = \frac{{2x}}{6} = \frac{x}{3}\)

Mà \(\frac{{x + y}}{5} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{xy}}{{12}}\) nên \(\frac{{xy}}{{12}} = \frac{x}{3} \Rightarrow \frac{{xy}}{x} = \frac{{12}}{3} \Rightarrow y = 4\)

Thay giá trị \(y = 4\) vào biểu thức (*) ta có :

\(\frac{{x + 4}}{5} = \frac{{x - 4}}{1} \Rightarrow x + 4 = 5x - 20 \Rightarrow 24 = 4x \Rightarrow x = 6\)

Vậy hai số cần tìm lần lượt là \(6\) và \(4.\)