Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 - đề số 1 có lời giải chi tiết

Đề bài

Câu 1: Trong không gian Oxyz . Biết mặt cầu (S) nhận hai điểm A(4;2;0), B(-2;-4;3) làm hai đầu đường kính. Tính tâm I bán kính R của (S)

A. I (2;-2;3),\(R\)= 9    

B. \(I(1; - 1;\dfrac{3}{2})\),\(R = \dfrac{9}{2}\)        

C. \(I(1; - 1;\dfrac{3}{2})\),\(R = 9\)   

D. \(I(2; - 2;3)\),\(R = \dfrac{9}{2}\)

Câu 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số\(f(x) = \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}.\)

A. \({x^2} + \ln |x - 1| + C.\)         

B. \(1 + \dfrac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} + C.\)        

C. \(x + \dfrac{1}{{x - 1}} + C.\)      

D. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln |x - 1| + C\)

Câu 3: Biết đường thẳng \(y = x - 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt\(A,B\) có hoành độ lần lượt\({x_A},{x_B}\). Khi đó giá trị \({x_A} + {x_B}\) bằng:

A. 2                                   B. 5                                  

C. 3                                   D. 1

Câu 4: Một người gửi tiết kiệm số tiền 18000000 đồng với lãi suất 6,0%/ năm( lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi). Biết rằng tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đó rút được cả tiền gốc lẫn tiền lãi gần với con số nào sau đây?

A. 23000000 đồng            B. 24088000 đồng            C. 22725000 đồng            D. 25533000 đồng

Câu 5: Với \(a\) là số thực khác 0 tùy ý, \({\log _4}{a^2}\) bằng :

A. 2\({\log _2}\left| a \right|\)                                    

B. \(\dfrac{1}{4}{\log _2}\left| a \right|\)           

C. \({\log _2}\left| a \right|\)                   

D. \({\log _2}a\)

Câu 6: Số nghiệm nguyên nhỏ hơn 10 của bất phương trình \({25^x} + {5.5^x} - 6 \ge 0\)là:

A. 10                                 B. 9

C. 8                                   D. 11

Câu 7: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng \(8\pi {a^2}\) và độ dài đường sinh bằng \(a\). Tính thể tích hình trụ đã cho

 A. \(16\pi {a^3}\)              B. \(32\pi {a^3}\)             

C. \(8\pi {a^3}\)                D. \(24\pi {a^3}\)

Câu 8: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số\(y = \dfrac{{x - 3}}{\begin{array}{l}x - 1\\\end{array}}\) có phương trình là

A.    \(y =  - 1\)                    B. \(y = 1\) 

C. \(y = 0\)                        D. \(x = 1\)

Câu 9: Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A(2;1; - 3)\), song song với trục \(Oz\) và vuông góc với mặt phẳng \((Q):x + y - 3z = 0\)

A. \(x + y - 3 = 0\)             B. \(x - y = 0\) 

C. \(x - y - 1 = 0\)              D. \(x - y + 1 = 0\)

Câu 10: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. \(\int {2{e^x}dx = 2({e^x} + C)} \)                     

B. \(\int {\dfrac{1}{x}dx = \ln (x) + C} \)          

C. \(\int {{x^3}dx = \dfrac{{{x^4} + C}}{4}} \)                       

D. \(\int {\sin {\rm{x}}dx = C - \cos x} \)

Câu 11: Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A(2;1; - 3)\), song song với trục \(Oz\) và vuông góc với mặt phẳng \((Q):x + y - 3z = 0\)

A. \(x + y - 3 = 0\)            

B. \(x - y = 0\)                  

C. \(x - y - 1 = 0\)             

D. \(x - y + 1 = 0\)

Câu 12: Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục \(Ox\) và các đường thẳng \(x = a\),\(x = b\)là:

A. \(S = \int\limits_a^b {f(x)dx} \)                            

B. \(\left| {S = \int\limits_a^b {f(x)dx} } \right|\)

C. \(S =  - \int\limits_a^b {f(x)dx} \)      

D. \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \)

Câu 13: Cho \(f(x)\),\(g(x)\) là các hàm số xác định và liên tục trên \(R\) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. \(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx - \int {g(x)dx} } \)          

B. \(\int {2f(x)} dx = 2\int {f(x)dx} \)     

C. \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } \)        

D. \(\int {\left[ {f(x)g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx.\int {g(x)dx} } \)

Câu 14: Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}} dx\)có giá trị bằng

A. \(\dfrac{{2\ln 2}}{3}\)                                         

B. 2ln2                             

C. \(\dfrac{{ - 2\ln 2}}{3}\)  

D. \( - 2\ln 2\)

Câu 15: Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), cho hai điểm \(M( - 1;5;3)\),\(N(1;3;5)\). Viết phương trình mặt phẳng trung trực \((P)\) của đoạn \(MN\)

A. \(x - y + z = 0\)            

B. \( - x - y + z = 0\)         

C. \(x + y + z + 1 = 0\)     

D. \(x - y + z - 1 = 0\)

Câu 16: Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\). Hãy chọn khẳng định đúng:

A. Hàm số luôn có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)       

B. Hàm số không có giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)

C. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)

D. Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)

Câu 17: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:

A. 4         B. 2        C. 3                   D. 1

Câu 18: Tính diện tích \(S\) của hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường cong\(y =  - {x^3} + 12x\) và \(y =  - {x^2}\)

A. \(S = \dfrac{{397}}{4}\)   B. \(S = \dfrac{{343}}{{12}}\) 

C. \(S = \dfrac{{793}}{4}\)   D. \(S = \dfrac{{937}}{{12}}\)

Câu 19: Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), cho tam giác\(ABC\) có trọng tâm \(G\), biết \(A\left( {1;2;0} \right)\), \(B\left( { - 4;5;3} \right)\), \(G\left( {0; - 1; - 1} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(C\)

 

A. \(12\pi \)      B. \(C(3; - 10; - 6)\)    

C. \(2\pi \sqrt 3 \)         D. \(4\pi \sqrt 3 \)

Câu 20: Cho hai số thực \(a\) và \(b\) dương khác 1 với \({a^{\dfrac{4}{5}}} < {a^{\dfrac{1}{2}}}\) và \({\log _b}\dfrac{1}{3} > {\log _b}\dfrac{3}{5}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(0 < a < 1;0 < b < 1\)        

B. \(a > 1;b > 1\)  

C. \(a > 1;0 < b < 1\)      

D. \(0 < a < 1;b > 1\)

Câu 21: Với giá trị nào của \(x\) thì hàm số \(f(x) = {\log _5}\left( {{x^2} - x - 2} \right)\) xác định

A. \(x \in \left( { - 1;2} \right)\) 

B. \(x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\)          

C. \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) 

D.\(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

Câu 22: Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\),\(f(3) = 5\) và \(\int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx}  = 6\). Khi đó \(f(1)\) bằng

A. 1     B. 10   C. -1    D. 11

Câu 23: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\((C):y = \dfrac{{ - 3x - 1}}{{x - 1}}\)  và hai trục tọa độ là \(S = 4\ln \dfrac{a}{b} - 1\) (\(a,b\) là hai số nguyên tố cùng nhau). Tính \(a - 2b\)

A.\( - 5\)         B. \( - 2\)          C. \( - 1\)         D. 1

Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + 4x + 2\) đồng biến trên tập xác định của nó?

A. 4     B. 3     C. 5     D. 2

Câu 25: Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng \(\sqrt 3 \). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(\dfrac{9}{2}\)    B. \(\dfrac{9}{4}\)    

C. \(\dfrac{3}{4}\)    D. \(\dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}\)

Câu 26: Tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}(5 - x) < 1\)là:

A.\(S = \left( {0;2} \right)\)    

B. \(S = \left( {0;3} \right)\)   

C. \(S = \left( {3;5} \right)\)   

D. \(S = \left( {3; + \infty } \right)\)

Câu 27: Trong không gian\({\rm{Ox}}yz\). Biết mặt cầu \((S)\) đi qua gốc tọa độ \(O\) và các điểm \(A( - 4;0;0)\), \(B(0;2;0)\), \(C\left( {0;0;4} \right)\). Phương trình \(\left( S \right)\)

A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y - 4z = 0\)

B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 4z = 0\) 

C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y - 4z = 0\) 

D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - y - 2z = 0\)

Câu 28: Trong không gian\({\rm{Ox}}yz\), gọi \(A,B,C\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(M( - 1;1;2)\)trên các trục \({\rm{Ox}},Oy,Oz\). Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\)

A. \(2x - 2y - z = 0\)   

B. \(2x - 2y - z + 2 = 0\)

C. \( - 2x + 2y + z + 2 = 0\)    

D. \(2x + 2y - z + 2 = 0\)

Câu 29: Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {x{e^x}dx} \)

A. \(I = e\)            B.\(I = 3{e^2} - 2e\)  

C. \(I = {e^2}\)           D. \(I =- {e^2}\)

Câu 30: Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), tìm hình chiếu \(H\) của điểm \(A(1; - 2;3)\) trên mặt phẳng \({\rm{(Ox}}y)\)

A. \(H(1; - 2;0)\)   B. \(H(1;2;0)\)      

C. \(H(0; - 2;3)\)     D. \(H(1;0;3)\)

Câu 31: Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên

 

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(a < 0,b < 0,c = 0,d > 0\)   

B. \(a > 0,b < 0,c > 0,d > 0\)   

C. \(a < 0,b > 0,c = 0,d > 0\)   

D. \(a < 0,b > 0,c > 0,d > 0\)

Câu 32: Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh 2\(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\),\(SA = a\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)       B. \(\sqrt 3 {a^3}\)         

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\)  D. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\)

Câu 33: Tích phân \(\int\limits_0^\pi  {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}} \)\(xdx\)bằng

A. \(\dfrac{3}{2}\)         B. \( - \dfrac{3}{2}\)      C. \( - \dfrac{2}{3}\)      D. \(\dfrac{2}{3}\)

Câu 34: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 2\) bằng

A. \(\dfrac{2}{3}\)         B. \(\dfrac{3}{2}\)          C. \(\dfrac{1}{3}\)         D. \(\dfrac{7}{3}\)

Câu 35: Cho hình nón bán kính đáy bằng 4 . Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác đều. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

A. \(16\pi \) B. \(8\pi \)   C. \(12\pi \) D. \(32\pi \)

Câu 36: Gọi \(M\)và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y =  - {x^4} + 8{x^2} - 2\) trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\). Tính \(M + m\) ?

A. \( - 25\)   B. \( - 6\)     C. \( - 48\)   D. \(3\)

Câu 37: Giả sử \(f\) là hàm số liên tục trên khoảng \(K\) và \(a,\) \(b,\) \(c\) là ba số bất kỳ trên khoảng \(K\) . Khẳng định nào sau đây sai?

A. \(\int\limits_a^c {f(x)dx + \int\limits_c^b {f(x)dx = \int\limits_a^b {f(x)dx} } } \),\(c \in \left( {a;b} \right)\)\(\)     B. \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^b {f(t)dt} } \)

C. \(\int\limits_a^a {f(x)dx = 1} \)                D. \(\int\limits_a^b {f(x)dx =  - \int\limits_b^a {f(x)dx} } \)

Câu 38: Hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + 1\) có

A. một cực đại và hai cực tiểu  B. một cực tiểu và cực đại

C. một cực đại duy nhất           D. một cực tiểu duy nhất

Câu 39: Cho đồ thị hàm số \(y = f(x)\) như hình vẽ.

Diện tích \(S\) của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và trục \({\rm{Ox}}\) (phần gạch sọc) được tính bởi công thức

A. \(S = \int\limits_{ - 3}^1 {f(x)dx + \int\limits_1^3 {f(x)dx} } \)   

B. \(S = \int\limits_{ - 3}^1 {f(x)dx - \int\limits_1^3 {f(x)dx} } \)    

C. \(S = \int\limits_{ - 3}^3 {f(x)dx} \)                

D. \(S = \left| {S = \int\limits_{ - 3}^3 {f(x)dx} } \right|\)

Câu 40: Cho hình lập phương có đường chéo bằng \(2\sqrt 3 \) . Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó là

A. \(12\sqrt 3 \pi \)             B. \(3\sqrt 3 \pi \)        

C. \(\sqrt 3 \pi \)       D. \(4\sqrt 3 \pi \)

Câu 41: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 6z + 7 = 0.\) Biết ba điểm \(A,B,M\) nằm trên mặt cầu \((S)\) sao cho \(\widehat {AMB} = {90^o}\). Khi đó diện tích tam giác \(AMB\) có giá trị lớn nhất bằng

A. \(2\pi \)   B. \(4\pi \)   C. 2   D. 4

Câu 42: Cho hai số dương \(a,b\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _4}a + {\log _2}{b^2} = 3\\{\log _4}{a^2} + {\log _2}b = 9\end{array} \right.\). Tính \(a + 2b\)

A. \(a + 2b = 2\)

B. \(a + 2b = {2^{10}} + 1\)

C. \(a + 2b = {2^{10}}\)

D. \(a + 2b = {2^9}\)

Câu 43: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị hàm số \(y = {f^'}(x)\) như hình vẽ. Hàm số \(y = f({x^2} - 3)\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây

 

A. \(( - 2;0)\)         B. \(( - \infty ; - 1)\) và \((0;1)\)

C. \(( - 1;1)\)         D. \((2; + \infty )\)

Câu 44: Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 \), cạnh bên hợp với mặt đáy một góc \({60^o}\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\)

A. \(\dfrac{{2\sqrt 3 a}}{3}\)   B. \(\dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}\)    

C. \(\sqrt 3 a\)       D. \(\dfrac{{2a}}{3}\)

Câu 45: Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho nửa đường tròn tâm \(O\). Parabol có đỉnh trùng với tâm \(O\)(trục đối xứng là trục tung) cắt nửa đường tròn tại hai điểm \(A,B\) như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn và Parabol ( phần gạch sọc)

A. \(S = \dfrac{{20}}{3} - 2\pi \)     

B. \(S = \dfrac{4}{3} - 2\pi \)  

C. \(S = \dfrac{{20}}{3} + 2\pi \)    

D. \(S = \dfrac{4}{3} + 2\pi \)

Câu 46: Cho hàm số \(f(x) = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|\). Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f(x) \le 3\)

A. 4        B. 10         C. 6        D. 11

Câu 47: Biết \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _4}\left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x + 3}}} \right) + {x^2} - x = 0\) và \(2{x_1} + 3{x_2} = \dfrac{1}{2}\left( {a + \sqrt b } \right)\) với \(a,b\) là hai số nguyên dương. Tính \(a + b\)

A. \(a + b = 4\)      B. \(a + b = 13\)

C. \(a + b = 8\)      D. \(a + b = 11\)

Câu 48: Cho tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}} dx = \dfrac{b}{c} + a\ln 2\) với \(a\) là số thực, \(b\)và \(c\) là các số nguyên dương, đồng thời \(\dfrac{b}{c}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(P = 2a + 3b + c\)

A. \(P = 4\)  B. \(P =  - 6\)

C. \(P = 5\)  D. \(P = 6\)

Câu 49: Biết rằng hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(R\) thỏa \(f\left( 2 \right) = 5\);\(\int\limits_0^2 {f(x)dx = \dfrac{4}{3}} \). Tính \(I = \int\limits_0^1 {xf'(2x)dx} \)

A. \(I = 7\)       B. \(I = 12\)     

C. \(I = 20\)     D. \(I = \dfrac{{13}}{6}\)

Câu 50: Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), cho mặt cầu \((S)\) có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A\left( {0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\) và tiếp xúc với mặt cầu \((S)\)

A. \(x + \sqrt 3 y + z - 2 = 0\)

B. \(\sqrt 3 y + z - 2 = 0\)        

C. \(\sqrt 3 y + 4z - 2 = 0\)      

D. \(y + \sqrt 3 z - 2 = 0\)

Lời giải chi tiết

1.B	2.D	3.B	4.B	5.C
6.A	7.A	8.B	9.A	10.B
11.C	12.D	13.D	14.C	15.A
16.A	17.C	18.D	19.B	20A
21.C	22.C	23.B	24.C	25.B
26.C	27.C	28.B	29.C	30.A
31.C	32.A	33.D	24.A	35.D
36.D	37.C	38.A	39.B	40.D
41.D	42.B	43.B	44.A	45.D
46.D	47.C	48.A	49.D	50.B

Câu 1(NB) – Mặt cầu

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính vecto, công thức tính độ dài đoạn thẳng.

Cách giải:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6; - 6; - 3} \right) \Rightarrow AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\sqrt {{{( - 6)}^2} + {{( - 6)}^2} + {{( - 3)}^2}} } \right| = 9\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\)là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( {1; - 1;\dfrac{3}{2}} \right)\) ; bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{9}{2}\)

Chọn B

Câu 2(NB) – Nguyên hàm.

Phương pháp:

Sử dụng các công thức tính nguyên hàm.

Cách giải:

Ta có: 

\(\int {\dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}} dx = \int {\left( {x + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)} dx \\= \int {xd} x + \int {\dfrac{{dx}}{{x - 1}}}\\  = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x - 1} \right| + C\)

Chọn D

Câu 3(TH) – Tương giao đồ thị hàm số.

Phương pháp:

Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Áp dụng định lý Vi-et.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(x - 2 = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\\ \Rightarrow 2x + 1 = (x - 2)(x - 1)\\ \Rightarrow 2x + 1 = {x^2} - 3x + 2 \\\Rightarrow {x^2} - 5x + 1 = 0\)

Phương trình trên có 2 nghiệm \({x_1},{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 5\) (Theo Vi-ét)

Câu 4(TH) – Cấp số cộng, cấp số nhân (lớp 11).

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính cấp số nhân.

Cách giải:

Số tiền người đó nhận được: \({T_n} = A{(1 + r)^n} = 18{(1 + 6\% )^5} = 24,088\)(triệu đồng)

Chọn B

Câu 5(NB) – Hàm logarit.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất hàm logarit.

Cách giải:

Ta có:          \({\log _4}{a^2} = 2{\log _4}a\)

Chọn C

Câu 6(TH) – Bất phương trình mũ.

Phương pháp

Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình bậc 2 và giải tìm nghiệm.

Cách giải:

 Đặt \(t = {5^x},\left( {t > 0} \right)\), ta được \({t^2} + 5t - 6 \ge 0 \Rightarrow t \in \left[ {1; + \infty } \right) \Rightarrow {5^x} \ge 1\) hay \({5^x} \ge {5^0} \Rightarrow x \ge 0\)

Theo đề bài, \(x < 10\) nên \(0 \le x < 10\)

Chọn A

Câu 7(NB) – Mặt trụ.

Phương pháp:

Sử dụng các công thức tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ.

Cách giải:

-   \({S_{xq}} = 2\pi rl \Rightarrow r = \dfrac{{8\pi {a^2}}}{{2\pi a}} = 4a\)

-    \(V = {\left( {4a} \right)^2}\pi .a = 16\pi {a^2}\)

Chọn A

Câu 8(TH) – Đường tiệm cận.

Phương pháp:

Tìm giới hạn của hàm số và kết luận.

Cách giải:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x - 3}}{{x - 1}} = 1\)

Vậy \(y = 1\) là TCN của đồ thị hàm số

Chọn B

Câu 9(TH) – Hệ tọa độ trong không gian.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính vecto trong không gian.

Cách giải:

Ta có:

          \(\begin{array}{l}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD}  = (1; - 1;0) \to ({x_C} - 1;{y_C} - 1;{z_C} - 1) = (1; - 1;0)\\ \Rightarrow C\left( {2;1;0} \right)\\\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {CC'}  = (4;2;2) \to ({x_{C'}} - 2;{y_{C'}} - 1;{z_{C'}}) = (4;2;2)\\ \Rightarrow C'(6;3;2)\end{array}\)

Chọn A

Câu 10(NB) – Nguyên hàm.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm.

Cách giải:

Ta thấy:

\(\int {\dfrac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \)

Chọn B

Câu 11(TH) - Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính vecto có hướng.

Cách giải:

-   \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {0;0;1} \right);\overrightarrow {{n_q}}  = \left( {1;1; - 3} \right)\)

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là : \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_q}} } \right] = \left( { - 1;1;0} \right) = (1; - 1;0)\)

Mặt phẳng \((P)\) có \({n_p} = (1; - 1;0)\) và đi qua điểm \(A(2;1; - 3)\)\( \Rightarrow \left( P \right):x - y - 1 = 0\)

Chọn C

Câu 12(TH) - Ứng dụng của tích phân trong hình học.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn.

Cách giải:

Công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm là : \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} {\rm{d}}x\)

Chọn D

Câu 13(NB) – Nguyên hàm.

Phương pháp:

Áp dụng các tính chất của nguyên hàm.

Cách giải:

\(\int {f\left( x \right)g\left( x \right)dx = } \int {f\left( x \right)dx.\int {g\left( x \right)dx} } \)sai do không có tính chất này

Chọn D

Câu 14(TH) – Tích phân.

Phương pháp:

Sử dụng các công thức để tính tích phân.

Cách giải:

Ta có:

\(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}} dx\)

Theo công thức giải nhanh \(\int {\dfrac{1}{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}}dx = \dfrac{1}{{b - a}}\ln \left| {\dfrac{{x - b}}{{x - a}}} \right|} \)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right|dx}  = \dfrac{{ - 2\ln 2}}{3}\)

Chọn C

Câu 15(TH) – Phương trình đường thẳng trong không gian.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính vecto trong không gian.

Cách giải:

Trung điểm của đoạn \(MN\) là \(I(\left( {0;4;4} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( {2; - 2;2} \right)\)

Mặt phẳng trung trực \((p)\) của đoạn \(MN\) có \(\overrightarrow {{n_p}}  = \overrightarrow {MN}  = (2; - 2;2) = (1; - 1;1)\) và đi qua điểm \(I(\left( {0;4;4} \right)\)

\( \Rightarrow (p):x - y + z = 0\)

Chọn A

Câu 16(NB) – Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Phương pháp:

Dựa vào dữ kiện đề bài.

Cách giải:

Chọn A

Câu 17(TH) – Đường tiệm cận.

Phương pháp:

Sử dụng các công thức tính giới hạn để suy ra tiệm cận của đồ thị hàm số.

Cách giải:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} f(x) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) =  + \infty ;\)

Vậy hàm số có 2 TCĐ là \(x = 3\) và \(x =  - 3\)

Lại có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = 0\)

Vậy hàm số có 1 TCN là \(y = 0\)

\( \Rightarrow \)Đồ thị hs có 3 đường tiện cận

Chọn C

Câu 18(TH) - Ứng dụng của tích phân.

Phương pháp:

Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng.

Cách giải:

- Xét pt hoành độ giao điểm: \( - {x^3} + 12x =  - {x^2} \to  - {x^3} + {x^2} + 12x = 0\)

  \( \to \) \(x =  - 3;x = 0\) hoặc \(x = 4\)

Diện tích của hình phẳng \(H\) là: \( - \int\limits_{ - 3}^0 {\left| { - {x^3} + {x^2} + 12x} \right|}  + \int\limits_0^4 {\left| { - {x^3} + {x^2} + 12x} \right|}  = \dfrac{{937}}{{12}}\)

Chọn D

Câu 19(NB) – Hệ tọa độ trong không gian.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính tọa độ điểm trong không gian.

Cách giải:

Tọa độ điểm  C là \(\left( {3{x_G} - {x_A} - {x_B};3{y_G} - {y_A} - {y_B};3{z_G} - {z_A} - {z_B}} \right) \\= \left( {3; - 10; - 6} \right)\)

Chọn B

Câu 20(NB) – Hàm số mũ.

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất của hàm mũ.

Cách giải:

\({a^{\dfrac{4}{5}}} < {a^{\dfrac{1}{2}}} \to 0 < a < 1\);    \({\log _b}\left( {\dfrac{1}{3}} \right) > {\log _b}\left( {\dfrac{3}{5}} \right) \to 0 < b < 1\)

Chọn A

Câu 21(NB) – Hàm số logarit.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất hàm logarit.

Cách giải:

Hàm số \(f(x)\) xác định khi \({x^2} - x - 2 > 0\)

\( \Rightarrow x <  - 1\) và \(x > 2\) hay \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

Chọn C

Câu 22(NB) – Tích phân.

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất của tích phân.

Cách giải:

- Theo bài ra, \(f(3) - f(1) = 6\), mà \(f(3) = 5\) nên \(f(1) =  - 1\)

Chọn C

Câu 23: (TH) – Tích phân

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng

Cách giải:

- Giao điểm của đồ thị hàm số với \(Ox\)là \(A(\dfrac{{ - 1}}{3};0)\)

Diện tích S cần tìm :

\(\left| {\int\limits_{\frac{{ - 1}}{3}}^0 {\frac{{ - 3x - 1}}{{x - 1}}} dx} \right| \\= \int\limits_{\frac{{ - 1}}{3}}^0 {\left( {3 + \dfrac{4}{{x - 1}}dx} \right)  }\\= \left| {\left( {3x + 4\ln \left| {x - 1} \right|} \right)} \right|_{\dfrac{{ - 1}}{3}}^0 = 4\ln \dfrac{4}{3} - 1\)

-  Nên \(a - 2b = 4 - 2.2 =  - 2\)

Chọn B          

Câu 24: (TH) - Ứng dụng của đạo hàm

Phương pháp:

Ứng dụng của đạo hàm tìm khoảng đồng biến

Cách giải:

-\(y' = {x^2} - 2mx + 4\)

Hàm số đồng biến trên tập xác định (R) khi

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn

Chọn C

Câu 25: (NB) – Khối đa diện

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính thể tích

Cách giải:   

                                                                    

-  Thể tích khối lăng trụ tam giác đều : \(V = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^3}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{9}{4}\)                                               

Chọn B

Câu 26: (NB) – Hàm số logarit

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của hàm số log

Cách giải:

-  TXĐ : \(5 - x > 0 \to x < 5\)

BPT \( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {5 - x} \right) < {\log _2}2 \Leftrightarrow 5 - x < 2 \Leftrightarrow x > 3\)

Vậy tập nghiệm của BPT là \(S = \left( {3;5} \right)\)

Chọn C

Câu 27: (TH) – Mặt cầu

Phương pháp:

Áp dụng hệ phương trình 4 ẩn đi qua 4 điểm

Cách giải:

- Gọi phương trình \((S)\) là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cx + d = 0\)

Vì mặt cầu đi qua O nên \(d = 0\)

                             A nên \( - 8a = 16 \to a = 2\)

                             B nên \(4b =  - 4 \to b =  - 1\)

                             C nên  \(8x =  - 16 \to c =  - 2\)

Chọn C

Câu 28: (VDT) – Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

Áp dụng công thức tích có hướng

Cách giải:

-    Tọa độ các điểm \(A\left( { - 1;0;0} \right)\); \(B\left( {0;1;0} \right)\); \(C\left( {0;0;2} \right)\)

-   \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 1;2} \right)\)

Vecto pháp tuyến của \((ABC)\) là \(n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {2; - 2; - 1} \right)\)

\(\left( {ABC} \right)\) qua \(A( - 1;0;0)\)và có \(n = \left( {2; - 2; - 1} \right)\) \( \to \left( {ABC} \right):2x - 2y - z + 2 = 0\)

Chọn B

Câu 29: (VDT) – Tích phân

Phương pháp:

Nguyên hàm từng phần

Cách giải:

 Đặt    \(\begin{array}{l}u = x \to du = dx\\dv = {e^x}dx \to v = {e^x}\end{array}\)

\(I = x{e^x} - \int\limits_1^2 {{e^x}dx = x{e^x}|_1^2}  - {e^x}|_1^2 = {e^x}\)

Chọn C

Câu 30: (NB) – Hệ tọa độ trong không gian

Phương pháp:

Tìm hình chiếu của điểm

Cách giải:

Gọi H là hình chiếu của \(A\) trên \(Oxy \to {z_H} = 0 \to H(1; - 2;0)\)

Chọn A

Câu 31: (VDT) – Khảo sát đồ thị hàm số

Phương pháp:

Dựa vào các dấu hiệu đồ thị để tìm ẩn

Cách giải:

-  Vì đồ thị có dạng đi xuống \( \to a < 0\)

-  Giao điểm của đồ thị với \(Oy\) nằm phía trên trục hoành \( \to d > 0\)

-  \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = 0\) và \({x_2} > 0\) nên \(c = 0\)

Mà \({x_2} = \dfrac{{2b}}{3} \to b > 0\)

Chọn C

Câu 32: (TH): Khối đa diện

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính thể tích khối đa diện

Cách giải:

 

-  Thê tích khối chóp là: \(V = {S_{ABC}}.SA = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4}.a = {a^3}\sqrt 3 \)      

Chọn B

Câu 33: (VDT) – Tích phân

Phương pháp:

Tích phân từng phần

Cách giải:

 Đặt \(u = \cos x \to du =  - \sin xdx\)

 \(I =  - \int\limits_0^\pi  {{u^2}du}  = \dfrac{{ - {u^3}}}{3} \\= \dfrac{{ - {{\cos }^3}x}}{3}_0^\pi  = \dfrac{2}{3}\)

Chọn D

Câu 34: (TH) - Ứng dụng của tích phân trong hình học

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng

Cách giải:

Diện tích cần tìm: \(\left( S \right) =  - \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)} \\ = \int\limits_1^2 { - {x^2}dx + \int\limits_1^2 {4xdx} }  - \int\limits_1^2 {3dx \\= \dfrac{2}{3}} \)

Chọn A

Câu 35: (NB) – Hình nón

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh

Cách giải:

Vì thiết diện cắt qua trục là tam giác đều nên \(l = 2r = 8\)

\({S_{xq}} = \pi rl = 32\pi \)

Chọn D

Câu 36: (VDT) - Ứng dụng của đạo hàm khảo sát hàm số

Phương pháp:

Lập bảng biến thiên rồi tìm min, max

Cách giải:

 \(y' =  - 4{x^3} + 16x\), \(x \in \left[ { - 3;1} \right]\)

\(y' = 0 \leftrightarrow \)\(x =  - 2\); \(x = 0\); \(x = 2\)

Ta có BBT

Vậy \(M + m = 14 + ( - 11) = 3\)

Chọn D

Câu 37: (NB) – Tích phân

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa của tích phân

Cách giải:

 \(\int\limits_a^a {f\left( x \right){\rm{d}}x = F(a) - F(a) = 0} \) chứ không thể bằng 1

Chọn C

Câu 38: (TH) - Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số

Phương pháp:

Lập BBT rồi tìm các cực đại, cực tiểu

Cách giải:

\(y' = 4{x^3} - 6x = 0 \to x = 0;\) \(x = \sqrt {\dfrac{3}{2}} \); \(x =  - \sqrt {\dfrac{3}{2}} \). Ta có BBT:           

 

Dựa vào BBT \( \to \) hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu

Chọn A

Câu 39: (TH): Tích phân

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng

Cách giải:

- \(S = \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right)d{\rm{x}}}  - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \)

Chọn B

Câu 40: (TH) – Mặt cầu

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu

Cách giải:

Mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương có tâm là trung điểm đường chéo, bán kính là \(\sqrt 3 \)

 Diện tích mặt cầu là: \(S = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\sqrt 3 } \right)^3} = 4\pi \sqrt 3 \)

Chọn  D         

Câu 41: (VDT) - Mặt cầu

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của cung tròn

Cách giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I(1;1;3)\) và \(R = 2\)

Diện tích tam giác \(AMB\) có giá trị lớn nhất khi \(M\)nằm chính giữa cung \(AB\). Mà \(\widehat {AMB} = {90^o}\) nên \(AB\) là đường kính

Khi đó

Chọn D

Câu 42: (VDT) – Hàm số logarit

Phương pháp:

Sử dụng các công thức về hàm số log

Cách giải:

Đặt \({\log _4}a = x;\)\({\log _2}b = y\)

Hệ pt trở thành    \( \Rightarrow \)   hay \({\log _4}a = 5 \to a = {4^5} = {2^{10}}\) và \({\log _2}b =  - 1 \to b = \dfrac{1}{2}\)

 \(a + 2b = {2^{10}} + 1\)

Chọn B

Câu 43: (VDT) - Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số

Phương pháp:

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm ẩn

Cách giải:

\(y' = 2x.f'({x^2} - 3)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(f'({x^2} - 3) = 0\)

Dựa vào đồ thị \(f'(x)\), ta thấy \(f'({x^2} - 3) = 0\) khi \({x^2} - 3 =  - 2\) và \({x^2} - 3 = 1\). Vậy \(x =  \pm 1\) và \(x =  \pm 2\)

 Ta có BBT 

Dựa vào BBT, nhận thấy \(y = f\left( {{x^2} - 3} \right)\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\)

Chọn B

Câu 44: (VDT) – Khối đa diện

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Cách giải:

 

Gọi \(O\) là hình chiếu của \(S\) trên \((ABCD)\). \(\widehat {SD;(ABCD)} = \widehat {SD;DO} = \widehat {SDO} = {60^o}\)    

\(SO = OD.\tan 60 = a\sqrt 3 \)                                                                                                             

Mà \(SD = \sqrt {O{D^2} + S{O^2}}  = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}}  = 2a\)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: \(R = \dfrac{{S{D^2}}}{{2SO}} = \dfrac{{4{a^2}}}{{2a\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) 

Chọn A

Câu 45: (VDT) - Ứng dụng của tích phân

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng

Cách giải:

 Phương trình parabol là \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}\)

 Phương trình nửa đường tròn với \(y\) dương : \(y = \sqrt {8 - {x^2}} \)

 Diện tích cần tìm là: \(\int\limits_2^{ - 2} {\left| {\dfrac{1}{2}{x^2} - \sqrt {8 - {x^2}} } \right|}  = \dfrac{4}{3} + 2\pi \)

Chọn D

Câu 46: (VDC) – Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp:

Biện luận tìm số nghiệm

Cách giải:

Ta có bảng giá trị:

+  \(m - 4 \ge 0 \to \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f(x) = m - 4\)

\( \to 0 \le m - 4 \le 3\)

\( \to 4 \le m \le 7\)

+\(m < 0 \to m - 4 < m \le 0\\ \to \left| {m - 4} \right| > \left| m \right| \ge 0\)

\( \to \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f(x) = \left| m \right| =  - m\) ( do \(m \le 0\))

\( \to  - 3 \le m \le 0\)

+  \(m(m - 4) \le 0\)\( \to \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f(x) = 0 \le 3\)(tm)

 \( \to m \in \left[ {0;4} \right]\). Vậy \(m \in \left[ { - 3;7} \right]\) \( \Rightarrow \) có 11 số

Chọn D

Câu 47: (VDT) – Hàm số logarit

Phương pháp:

Áp dụng các định nghĩa về hàm số logarit

Cách giải:

 \({\log _2}\left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x + 3}}} \right) + 2{x^2} - 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right) + 2\left( {{x^2} + 1} \right) \\= {\log _2}\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right) + 2\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 1 = x + \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow {x_1} \\= \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\) và \({x_2} = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\)

 \(2{x_1} + 3{x_2} = \dfrac{1}{2}\left( {5 + \sqrt 3 } \right) \to a + b = 8\)

Chọn C

Câu 48: (VDT) – Nguyên hàm

Phương pháp:

Nguyên hàm từng phần

Cách giải:

            Đặt \(\begin{array}{l}u = \ln x \to du = \dfrac{1}{x}dx\\dv = \dfrac{{dx}}{{{x^2}}} \to v = \dfrac{{ - 1}}{x}\end{array}\)

            \(I = \dfrac{{ - \ln x}}{x} + \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{{x^2}}}}  = \dfrac{{ - \ln x}}{x}_1^2 + \dfrac{{ - 1}}{x}_1^2\)

                                       \( = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\ln 2\). Vậy \(2a + 3b + c = 2.\dfrac{{ - 1}}{2} + 3.1 + 2 = 4\)

Chọn A

Câu 49: (VDT) -  Nguyên hàm

Phương pháp:

Nguyên hàm từng phần.

Cách giải:

Đặt \(\begin{array}{l}u = x \to du = dx\\dv = f'(2x)dx \to v = \dfrac{1}{2}f(2x)\end{array}\)

\(I = \dfrac{1}{2}xf(2x) - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f(2x)dx} \\ = \dfrac{1}{2}xf\left( {2x} \right)_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^2 {f(2x)d(2x)}\\  = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{4}.\dfrac{4}{3} = \dfrac{{13}}{6}\)

Chọn D

Câu 50: (VDT) – Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của đường thẳng và mặt phẳng

Cách giải:

Vì mặt cầu tiếp xúc với \((P)\) tại \(A\) nên \(OA \bot (P)\).\({n_P} = \overrightarrow {OA}  = \left( {0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2}} \right) \\= \left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)\)

\((P)\) đi qua \(A\) và có \({n_P} = \left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)\)\( \to\left( P \right):\sqrt 3 y + z - 2 = 0\)

Chọn B