Đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 2 có lời giải chi tiết

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM (6 ĐIỂM)

Câu 1: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. \(f\left( x \right) = 1 + \tan x\)        B. \(f\left( x \right) = {x^2} + \cos \left( {3x} \right)\)    

C. \(f\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {2x} \right)\)       D. \(f\left( x \right) =  - \cot x\)

Câu 2: Hàm số nào sau đây có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?

A. \(y = \sin \sqrt x \)             B. \(y = \dfrac{1}{{2 - \cos x}}\)                                 

C. \(y = {\tan ^2}x\)               D. \(y = \dfrac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}\)

Câu 3: Tìm \(a\) để phương trình \(\left( {a - 1} \right)\cos x = 1\) có nghiệm.

A. \(0 \le a \le 2,\,\,a \ne 1\)    B. \(\left[ \begin{array}{l}a \le 0\\a \ge 2\end{array} \right.\)          

C. \(a \ge 2\)                           D. \(a \le 0\)

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, I là trung điểm của SC, giao điểm của AI và (SBD) là :

A. Điểm K (với O là trung điểm của BD và \(K = SO \cap AI\))

 B. Điểm M (với \(O = AC \cap BD;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M = SO \cap AI\))

 C. Điểm N (với \(O = AC \cap BD;\) N là trung điểm SO)

 D. Điểm I.

Câu 5: Nghiệm của phương trình \(\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2}\) là:

A. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)           

B. \(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)                     

C. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)                                      

D. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\tan x =  - 1\) là:

A. \(\dfrac{\pi }{4}\)         B. \(\dfrac{{7\pi }}{4}\)       

C. \(\dfrac{{3\pi }}{4}\)       D. \( - \dfrac{\pi }{4}\)

Câu 7: Khẳng định nào sau đây sai?

A. \(y = \cot x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\).       

B. \(y = \sin x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\).

C. \(y =  - \cos x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right)\).         

D. \(y =  - tanx\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Câu 8: Nghiệm của phương trình \(\sin 2x - \sqrt 3 \sin x = 0\) là:

A. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)          

B. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)          

D. \(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Câu 9: Gọi \(a\) là nghiệm của phương trình \(2{\cos ^2}x + \cos x - 1 = 0\) trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\). Tính \(\cos 2a\).

A. \( - \dfrac{1}{2}\)             B. \(\dfrac{\pi }{3}\)              C. \(\dfrac{1}{2}\)                   D. \( - \dfrac{\pi }{3}\)

Câu 10: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho \(\vec v\left( {3;3} \right)\) và đường tròn \(\left( C \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\). Tìm phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là ảnh của \(\left( C \right)\) qua phép tịnh tiến \({T_{\vec v}}.\)

A. \((C'):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9\)                  

B. \((C'):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 9\)

C. \((C'):{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} =9\)                 

D. \((C'):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} =3.\)

Câu 11: Nghiệm của phương trình \(\sin x.\cos x.\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) = 0\) là:

A. \(x = \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)               B. \(x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)           

C. \(x = \dfrac{{k\pi }}{8}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)                 D. \(x = \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Câu 12: Cho các mệnh đề sai:

(1) Hàm số \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) cùng đồng biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\).

(2) Đồ thị hàm số \(y = 2019\sin x + 10\cos x\) cắt trục hoành tại vô số điểm.

(3) Đồ thị hàm số \(y = \tan x\) và \(y = \cot x\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) chỉ có một điểm chung.

(4) Với \( \in \left( {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) các hàm số \(y = \tan \left( {\pi  - x} \right)\), \(y = \cot \left( {\pi  - x} \right)\), \(y = \sin \left( {\pi  - x} \right)\) đều nhận giá trị âm.

Trong các mệnh đề trên, số mệnh đề sai là:

A. \(0\)                 B. \(2\)                 C. \(3\)                D. \(1\)

Câu 13: Hàm số nào sau đây toàn hoàn với chu kì \(2\pi \)?

A. \(y = \tan \left( {\dfrac{x}{2}} \right)\)                       B. \(y = \sin 2x\)               

C. \(y = \cos \left( {\dfrac{x}{2}} \right)\)                       D. \(y = \cot 2x\)

Câu 14: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là tứ giác lồi. Gọi \(O\)là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(M\)là giao điểm của \(AB\) và \(CD\), \(N\)là giao điểm của \(AD\) và \(BC\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\)và \(\left( {SCD} \right)\)là?

A. \(SA\)         B. \(SN\)                  C. \(SM\)     D. \(SO\)

Câu 15: Tìm số giá trị nguyên của \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2019;2019} \right]\) để phương trình sau có nghiệm

\(2\sin 2x + \left( {m - 1} \right)\cos 2x = m + 1\)

A. \(2021\)      B. \(2020\)           C. \(4038\)   D. \(4040\)

II. TỰ LUẬN (4 ĐIỂM)

Câu 1 (0.5 điểm): Tìm tập xác định của hàm số \(y = \dfrac{{\cot \left( {2x} \right)}}{{\cos \left( {2x} \right)}}\).

Câu 2 (0.5 điểm): Giải phương trình \({\cos ^2}x - 3\sin x + 3 = 0\).

Câu 3 (1 điểm): Tìm \(a\) để phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x - a} \right) = 0\) có đúng hai nghiệm thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\).

Câu 4 (1 điểm): Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = x + {\cos ^2}x\) trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\).

Câu 5 (1 điểm): Cho hình chóp S.ABC với M, N lần lượt là trung điểm của SB, AB; P thuộc đoạn AC sao cho AP = 2PC.

1. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:

1.1. (MNP) và (ABC).                   1.2. (MNP) và (SBC).

2. Xác định giao điểm Q của mặt phẳng (MNP) với  SC. Tính PQ  khi biết SA =12cm.

Lời giải chi tiết

I. TRẮC NGHIỆM (6 ĐIỂM)

Câu 1:

Phương pháp:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\).

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn nếu \(\left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right.\).

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ nếu \(\left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\end{array} \right.\).

Cách giải:

Xét đáp án A:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\) \( \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = 1 + \tan \left( { - x} \right) = 1 - \tan x \ne f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \tan x\) là hàm không chẵn, không lẻ.

Xét đáp án B:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} + \cos \left( { - 3x} \right) = {x^2} + \cos \left( {3x} \right) = f\left( x \right)\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \cos \left( {3x} \right)\) là hàm chẵn.

Chọn B.

Câu 2:

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: \( - 1 \le \cos x \le 1\) \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Cách giải:

Xét đáp án B:

Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow 1 \le 2 - \cos x \le 3\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó \(2 - \cos x \ne 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Vậy hàm số \(y = \dfrac{1}{{2 - \cos x}}\) có TXĐ là \(\mathbb{R}\).

Chọn B.

Câu 3:

Phương pháp:

- Biện luận phương trình bậc nhất \(ax + b = 0\).

- Sử dụng tính chất: \( - 1 \le \cos x \le 1\) \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Cách giải:

TH1: \(a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1\), khi đó phương trình trở thành \(0.\cos x = 1\) (Vô nghiệm).

TH2: \(a - 1 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 1\), khi đó ta có \(\cos x = \dfrac{1}{{a - 1}}\,\,\left( {a \ne 1} \right)\).

Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow  - 1 \le \dfrac{1}{{a - 1}} \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{a - 1}} \ge  - 1\\\dfrac{1}{{a - 1}} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{1 + a - 1}}{{a - 1}} \ge 0\\\dfrac{{1 - a + 1}}{{a - 1}} \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{{a - 1}} \ge 0\\\dfrac{{2 - a}}{{a - 1}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a > 1\\a \le 0\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a \le 0\end{array} \right.\,\,\left( {tm\,\,a \ne 1} \right)\end{array}\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a \le 0\end{array} \right.\).

Chọn B.

Câu 4:

Phương pháp:

Tìm giao điểm của đường và mặt.

Cách giải:

 

Trong (ABCD) gọi \(O = AC \cap BD\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(M = SO \cap AI\) ta có

\(M \in SO \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow M \in \left( {SBD} \right) \Rightarrow M = AI \cap \left( {SBD} \right)\) với \(O = AC \cap BD;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M = SO \cap AI\).

Chọn B.

Câu 5:

Phương pháp:

Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Câu 6:

Phương pháp:

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

- Giải bất phương trình \(x > 0\), tìm số nguyên \(k\) nhỏ nhất thỏa mãn.

Cách giải:

Ta có: \(\tan x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

 Xét \(x > 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi  > 0 \Leftrightarrow k > \dfrac{1}{4}\).

\( \Rightarrow \) Số nguyên \(k\) nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện là \({k_{\min }} = 1\).

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là \(x =  - \dfrac{\pi }{4} + \pi  = \dfrac{{3\pi }}{4}\).

Chọn C.

Câu 7:

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị các hàm số lượng giác.

Cách giải:

Đồ thị hàm số \(y = \cot x\):

 

\( \Rightarrow \) Hàm số  nghịch biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\) là khẳng định đúng.

Đồ thị hàm số \(y = \sin x\):

 

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\) là mệnh đề ĐÚNG.

Đồ thị hàm số \(y = \cos x\):

 

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) \( \Rightarrow \) Hàm số \(y =  - \cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right)\). Do đó mệnh đề C sai.

Chọn C.

Câu 8:

Phương pháp:

- Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\) .

- Đưa phương trình về dạng tích sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sin 2x - \sqrt 3 \sin x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \sqrt 3 \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {2\cos x - \sqrt 3 } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn C.

Câu 9:

Phương pháp:

- Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác tìm \(\cos x\).

- Chú ý điều kiện \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \cos x > 0\).

- Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\).

Cách giải:

Ta có: \(2{\cos ^2}x + \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \dfrac{1}{2}\\\cos x =  - 1\end{array} \right.\).

Vì \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \cos x > 0\), do đó \(\cos x = \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} - 1 =  - \dfrac{1}{2}\).

Chọn A.

Câu 10:

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của phép tịnh tiến điểm M thành M’ theo vecto v thì \(\overrightarrow {MM'} {\rm{\;}} = \vec v\).

Cách giải:

Đường tròn (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\)có tâm I(1;-2); bán kinh R=3.

Gọi I’ là tâm đường tròn (C’).

Phép tịnh tiến điểm I thành điểm I’ theo véc-tơ \(\vec v\left( {3;3} \right)\)thì \(\overrightarrow {II'} {\rm{\;}} = \vec v\)

Suy ra \(I'\left( {4;1} \right)\)

Đường tròn (C’) có tâm là \(I'\left( {4;1} \right)\); R=3 nên có dạng \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9\)

Chọn A.

Câu 11:

Phương pháp:

- Sử dụng công thức nhân đôi: \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha ,\,\,cos2\alpha  = co{s^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha \).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \).

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin x.\cos x.\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2}\sin 2x.\cos 2x = 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{4}\sin 4x = 0\\ \Leftrightarrow \sin 4x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn D.

Câu 12:

Phương pháp:

- Mệnh đề (1): Sử dụng đồ thị hàm số.

- Mệnh đề (2), (3): Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Mệnh đề 4: Sử dụng tính chất “sin bù”.

Cách giải:

Xét mệnh đề (1): Ta có đồ thị hàm số \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) như sau:

Đồ thị hàm số \(y = \sin x\):

 

Đồ thị hàm số \(y = \cos x\):

 

Hai hàm số này cùng đồng biến trên \(\left( {\dfrac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\). Do đó mệnh đề (1) đúng.

Xét mệnh đề (2): Phương trình hoành độ giao điểm: \(2019\sin x + 10\cos x = 0\) \( \Leftrightarrow \tan x =  - \dfrac{{10}}{{2019}}\).

Do đó phương trình này có vô số nghiệm, nên mệnh đề (2) đúng.

Xét mệnh đề (3): Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\tan x = \cot x \Leftrightarrow \tan x = \dfrac{1}{{\tan x}}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) .

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

\(0 < \dfrac{\pi }{4} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{3}{4},\,\,k \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4}\).

+ Xét họ nghiệm \(x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

\(0 <  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{5}{4},\,\,k \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4}\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \tan x\) và \(y = \cot x\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) có 2 điểm chung, do đó mệnh đề (3) sai.

Xét mệnh đề (4):

Ta có: \(\tan \left( {\pi  - x} \right) =  - \tan x,\,\,\cot \left( {\pi  - x} \right) =  - \cot x,\,\,\sin \left( {\pi  - x} \right) = \sin x\).

Trên khoảng \(\left( {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\tan x > 0 \Leftrightarrow  - \tan x < 0\\\cot x > 0 \Leftrightarrow  - \cot x < 0\\\sin x < 0\end{array} \right.\).

Do đó mệnh đề (4) đúng.

Vậy có 1 mệnh đề sai.

Chọn D.

Câu 13:

Phương pháp:

- Hàm số \(y = \sin ax,\,\,y = \cos ax\) tuần hoàn với chu kì \(T = \dfrac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\).

- Hàm số \(y = \tan ax,\,\,y = \cot ax\) tuần hoàn với chu kì \(T = \dfrac{\pi }{{\left| a \right|}}\).

Cách giải:

Hàm số \(y = \tan \left( {\dfrac{x}{2}} \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T = \dfrac{\pi }{{\dfrac{1}{2}}} = 2\pi \).

Chọn A.

Câu 14:

Phương pháp:

Xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng.

Cách giải:

Xét \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) có:

+ \(S\) là điểm chung thứ nhất.

+ \(M = AB \cap CD \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in AB \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow M \in \left( {SAB} \right)}\\{M \in CD \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow M \in \left( {SCD} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) \Rightarrow M\)  là điểm chung thứ hai.

Vậy \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SM\).

Chọn C.

Câu 15:

Phương pháp:

Phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

Cách giải:

Phương trình \(2\sin 2x + \left( {m - 1} \right)\cos 2x = m + 1\) có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{2^2} + {\left( {m - 1} \right)^2} \ge {\left( {m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4 + {m^2} - 2m + 1 \ge {m^2} + 2m + 1\\ \Leftrightarrow 4m \le 4 \Leftrightarrow m \le 1\end{array}\)

Kết hợp điều kiện \(m \in \left[ { - 2019;2019} \right] \Rightarrow m \in \left[ { - 2019;1} \right]\).

Vậy có 2021 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

II. TỰ LUẬN (4 ĐIỂM)

Câu 1:

Phương pháp:

- Hàm phân thức xác định khi và chỉ khi mẫu thức khác 0.

- Hàm \(\cot x\) xác định khi và chỉ khi \(\sin x \ne 0\).

Cách giải:

Hàm số \(y = \dfrac{{\cot \left( {2x} \right)}}{{\cos \left( {2x} \right)}}\) xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin 2x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 4x \ne 0 \Leftrightarrow 4x \ne k\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{4}\).

Vậy TXĐ của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{4};\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Câu 2:

Phương pháp:

- Sử dụng công thức \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Giải phương trình bậc hai, sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}x - 3\sin x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x - 3\sin x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 3\sin x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\sin x =  - 4\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Câu 3:

Phương pháp:

- Giải phương trình tích.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản, tìm số nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\), sau đó biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số.

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x - a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\\cos x - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{1}{2}\\\cos x = a\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\\cos x = a\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \) có 1 nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} \in \left( {0;\pi } \right)\).

Họ nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \) có 1 nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} \in \left( {0;\pi } \right)\).

Do đó để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\) thì hoặc phương trình (*) vô nghiệm, hoặc phương trình (*) có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6}\) hoặc \(x = \dfrac{{5\pi }}{6}\).

TH1: (*) vô nghiệm \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 1\\a <  - 1\end{array} \right.\).

TH2: (*) có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6}\).

\( \Rightarrow \cos \dfrac{\pi }{6} - a = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Thử lại: Với \(a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \) có đúng 1 nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} \in \left( {0;\pi } \right)\).

TH3: (*) có nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6}\).

 \( \Rightarrow \cos \dfrac{{5\pi }}{6} - a = 0 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Thử lại: Với \(a =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \cos x =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \) có đúng 1 nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} \in \left( {0;\pi } \right)\).

Vậy \(a \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right) \cup \left\{ { \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right\}\).

Câu 4:

Cách giải:

Giả sử \({x_1},\,\,{x_2} \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right];\,\,{x_1} < {x_2}\).

Xét

\(\begin{array}{l}f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) + {\cos ^2}\left( {{x_2}} \right) - {\cos ^2}\left( {{x_1}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) + \left( {\cos {x_2} + \cos {x_1}} \right)\left( {\cos {x_2} - \cos {x_1}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) - 4\cos \dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}\cos \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}.sin\dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}.\sin \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \left( {2sin\dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}\cos \dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}} \right)\left( {2\sin \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}\cos \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \sin \left( {{x_2} + {x_1}} \right)\sin \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \sin \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\end{array}\)

Vì \(0 < {x_2} - {x_1} \le \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow x > \sin x\), do đó \(\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \sin \left( {{x_2} - {x_1}} \right) > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\).

Suy ra hàm số \(f\left( x \right) = x + {\cos ^2}x\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\).

\( \Rightarrow f\left( 0 \right) = 1 \le f\left( x \right) \le f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2}\,\,\forall x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\).

Vậy GTLN của hàm số bằng \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2}\), đạt được tại \(x = \dfrac{\pi }{4}\) và GTNN của hàm số bằng 1, đạt được tại \(x = 0\).

Câu 5:

Phương pháp:

1. Xác định giao tuyến của các mặt phẳng bằng cách xác định các điểm chung.

2. Chứng minh PQ // SA bằng cách áp dụng định lí Ta-lét đảo, từ đó áp dụng định lí Ta-lét tính PQ.

Cách giải:

 

1.

1.1. Xác định giao điểm của (MNP) và (ABC)

Ta có: N, P là hai điểm chung của hai mạt phẳng (MNP) và (ABC) \( \Rightarrow \left( {MNP} \right) \cap \left( {ABC} \right) = NP\).

1.2. Xác định giao điểm của (MNP) và (SBC).

Trong (ABC) gọi \(F = NP \cap BC\)

Vì \(F \in BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow F \in \left( {SBC} \right)\). Trong (SBC) gọi \(Q = MF \cap SC\).

\( \Rightarrow \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MQ\).

2. Theo 1.2 ta đã xác định được \(Q = MF \cap SC.\) Mà \(MF \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow Q = SC \cap \left( {MNP} \right)\).

Trong (ABC), lấy \(G \in NF\) sao cho \(GC//AB\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{GC}}{{AN}} = \dfrac{{PC}}{{AP}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow GC = \dfrac{1}{2}AN\). Mà \(AN = BN{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right) \Rightarrow GC = \dfrac{1}{2}BN\).

\( \Rightarrow \dfrac{{GC}}{{BN}} = \dfrac{{FG}}{{FN}} = \dfrac{{FC}}{{FB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow C\) là trung điểm của BF.

Trong (SBC) kẻ \(EC//SB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {E \in MF} \right)\) .

Xét tam giác FBM có :

C là trung điểm của BF (cmt);

\(EC//SB\)

\( \Rightarrow E\) là trung điểm của MF (Định lí đường trung bình của tam giác).

\( \Rightarrow EC\) là đường trung bình của tam giác FMB \( \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{MB}} = \dfrac{1}{2}\). Mà \(MB = SM \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{SM}} = \dfrac{1}{2}\)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{EC}}{{SM}} = \dfrac{{QC}}{{SQ}} = \dfrac{1}{2}\). Mà \(AP = 2PC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right) \Rightarrow \dfrac{{PC}}{{AP}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{QC}}{{SQ}} = \dfrac{{PC}}{{AP}} \Rightarrow PQ//SA\) (định lí Ta-lét đảo) và \(\dfrac{{PQ}}{{SA}} = \dfrac{{PC}}{{AC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow PQ = \dfrac{1}{3}SA = \dfrac{1}{3}.12 = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\).