Đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 10 đề số 2

Đề bài

Câu 1.(2,5 điểm)

a) Xét tính đúng sai và lập mệnh đề phủ định của mệnh đề sau:

\(\forall a \in \mathbb{R},a\left( {a + 1} \right)\) không chia hết cho 2.

b) Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x + 3}  + \dfrac{{2{x^2} + 2}}{{\left| { - {x^2} + 5x + 6} \right|}}\)

c) Xét tính chẵn lẻ của hàm số \(y = 2021{x^{2021}} + 2019x\left| x \right| + 5\)

Câu 2.(2 điểm)

a) Tìm \(m \in \left[ {1;2020} \right]\) để hàm số \(y = \left( {{m^2} - 4} \right)x + m - 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

b) Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên hàm số \(y = \left| {x + 1} \right|\)

Câu 3. (2 điểm) Gọi \((P)\) là đồ thị của hàm số \(y = {x^2} + ax + b\) đi qua gốc tọa độ và có trục đối xứng là \(x = 2\).

a) Tìm \(a,b\).

b) Khi tịnh tiến đồ thị \(\left( P \right)\) sang trái 1 đơn vị, rồi xuống dưới 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?

Câu 4.(3,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, F là điểm xác định bởi \(4\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AB} \).

1) Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AF} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BC} \).

2) Tìm số thực x sao cho \(\overrightarrow {BH}  = x\overrightarrow {BC} \) đồng thời ba điểm F, H, G thẳng hàng.

3) Với mỗi điểm M, xác định điểm N thỏa mãn: \(\overrightarrow {MN}  = \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right)\). Tìm tập hợp các điểm N khi M chạy trên đường tròn tâm O bán kính R.

Lời giải chi tiết

Câu 1.

a) Mệnh đề sai vì:

\(a = 1 \in \mathbb{R} \Rightarrow a\left( {a + 1} \right) = 2\) chia hết cho 2.

Mệnh đề phủ định: \(\exists a \in \mathbb{R},a\left( {a + 1} \right)\) chia hết cho 2.

b) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\ - {x^2} + 5x + 6 \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 3\\x \ne 6\\x \ne  - 1\end{array} \right.\)

Tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { - 3; - 1} \right) \cup \left( { - 1;6} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)\)

c) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

\(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)

Lấy tùy ý \(x \in D\) ta có

\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = 2021{\left( { - x} \right)^{2021}} + 2021\left( { - x} \right)\left| { - x} \right| + 5\\ =  - 2021{x^{2021}} - 2021x\left| x \right| + 5\end{array}\)

\( \Rightarrow f\left( { - x} \right) \ne f\left( x \right)\) và \(f\left( { - x} \right) \ne f\left( x \right)\)

Vậy hàm số đã cho không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

Câu 2.

a) Hàm số \(y = \left( {{m^2} - 4} \right)x + m - 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 4 > 0\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) > 0\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(1 \le m \le 2020\). Ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 \le m \le 2020\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m \le 2020\)

Vậy \(2 < m \le 2020\).

b) Ta có hàm số \(y = \left| {x + 1} \right|\) xác định với mọi \(x\).

Nếu \(x \ge  - 1\), thì \(\left| {x + 1} \right| = x + 1\)

Nếu \(x <  - 1\), thì \(\left| {x + 1} \right| =  - x - 1\)

Do đó hàm số đã cho là \(y = \left\{ \begin{array}{l}x + 1{\rm{ khi }}x \ge  - 1\\ - x - 1{\rm{ khi }}x <  - 1\end{array} \right.\)

Đồ thị:

Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

Bảng biến thiên:

Câu 3.

a) Ta có \((P)\) đi qua gốc tọa độ O(0;0)  nên tọa độ của O thỏa mãn hàm số \(y = {x^2} + ax + b\).

\( \Rightarrow 0 = {0^2} + a.0 + b \Leftrightarrow b = 0\).

\((P)\) có trục đối xứng là \(x =  - \dfrac{a}{2}\)\( \Rightarrow  - \dfrac{a}{2} = 2 \Leftrightarrow a =  - 4\).

Vậy \(a =  - 4,b = 0\).

b) Hàm số ban đầu là: \(y = {x^2} - 4x\).

Khi tịnh tiến đồ thị sang trái 1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số

\(y = f\left( {x + 1} \right) = {\left( {x + 1} \right)^2} - 4\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 2x - 3\).

Khi tịnh tiến đồ thị trên xuống dưới 3 đơn vị ta được đồ thị của hàm số

\(y = {x^2} - 2x - 3 - 3 = {x^2} - 2x - 6\).

Vậy hàm số cần tìm là \(y = {x^2} - 2x - 6\).

Câu 4.

a) Ta có

\(\begin{array}{l}4\overrightarrow {{\rm{AF}}}  = \overrightarrow {AB}  \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{AF}}}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} \\ = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC} } \right) = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC}  - \dfrac{1}{4}\overrightarrow {BC} \end{array}\)

b) Gọi D là trung điểm BC. Vì H thuộc cạnh BC nên đặt \(\overrightarrow {BH}  = x\overrightarrow {BC} \).

Ta có :

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {FG}  = \overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {AG}  =  - \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD} \\ =  - \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\\ = \dfrac{1}{{12}}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {FH}  = \overrightarrow {FB}  + \overrightarrow {BH}  =  - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + x\overrightarrow {BC} \\ =  - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + x\overrightarrow {AC}  - x\overrightarrow {AB} \\ = \left( { - x - \dfrac{3}{4}} \right)\overrightarrow {AB}  + x\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Để F,G, H thẳng hàng thì tồn tại số k khác 0 để \(\overrightarrow {FG}  = k\overrightarrow {FH} \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{12}}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC}  = k\left[ {\left( { - x - \dfrac{3}{4}} \right)\overrightarrow {AB}  + x\overrightarrow {AC} } \right]\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - kx - \dfrac{3}{4}k = \dfrac{1}{{12}}\\kx = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k =  - \dfrac{5}{9}\\x =  - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.\)

Vậy \(x =  - \dfrac{3}{5}\).

c) \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \dfrac{2}{3}.3\overrightarrow {MG}  = 2\overrightarrow {MG} \).

Hay \(N\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(G\) \( \Rightarrow \overrightarrow {GN}  = \overrightarrow {MG} \)

Gọi \(O'\) là điểm đối xứng với \(O\) qua \(G\) \( \Rightarrow \overrightarrow {GO'}  = \overrightarrow {OG} \)

Khi đó \(\overrightarrow {NO'}  = \overrightarrow {OM}  \Rightarrow O'N = OM = R\). Vì O và G cố định nên O’ cố định, do đó khi M chạy trên đường tròn tâm \(O\) bán kính R thì \(N\) chạy trên đường tròn tâm \(O'\) bán kính R.