Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 2 - Chương 3 - Hình học 7

Đề bài

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, các đường phân giác của góc \(\widehat {BAH}\) và \(\widehat {CAH}\) cắt BC ở D và E.

a) Chứng minh \(\widehat {HAB} = \widehat {C.}\)

b) Chứng minh \(\Delta ABE\) cân.

Bài 2: Cho tam giác ABC có \(AB < AC\), phân giác AD. Trên tia AC lấy điểm E sao cho \(A{\rm{E}} = AB.\)

a) Chứng minh: \(B{\rm{D}} = E{\rm{D}}.\)

b) AB cắt ED ở K. Chứng minh rằng: \(\Delta DBK = \Delta DEC.\)

c) Chứng minh: \(\Delta AKC\) là tam giác đều.

d) Chứng minh: \(A{\rm{D}} \bot KC.\)    

Lời giải chi tiết

Bài 1:

a) Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại A nên \(\widehat B + \widehat C = {90^0}\).

\(\Delta AHB\) vuông cân tại H nên
 \(\widehat B + \widehat {BAC} = {90^0}\) 
\( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat C.\)

b) Mặt khác AE là tia phân giác của \(\widehat {A{\rm{E}}B} = \widehat C + \widehat {CA{\rm{E}}}\) (góc ngoài \(\Delta A{\rm{E}}C\))
\( \Rightarrow \widehat {BAH} + \widehat {HA{\rm{E}}} = \widehat {A{\rm{E}}B}\) hay \(\widehat {E{\rm{A}}B} = \widehat {A{\rm{E}}B}.\) 
Chứng tỏ  \(\Delta ABE\) cân tại B.

Bài 2:

a) Xét \(\Delta A{\rm{D}}B\) và \(\Delta A{\rm{D}}E\) có:

+) AD cạnh chung;

+) \({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (gt);

+) \(AB = A{\rm{E}}\) (gt).

Do đó \(\Delta A{\rm{D}}B = \Delta A{\rm{D}}E\) (c.g.c)

b) \(\Delta A{\rm{D}}B = \Delta A{\rm{D}}E\)(cmt)

\( \Rightarrow \widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {A{\rm{ED}}}\) (góc tương ứng),
mà \(\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{ED}}} = {180^0}\) (kề bù).

Tương tự \(\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat {CE{\rm{D}}} = {180^0}\) 
\( \Rightarrow \widehat {BK{\rm{D}}} = \widehat {CE{\rm{D}}}.\)

Xét \(\Delta KB{\rm{D}}\) và \(\Delta CE{\rm{D}}\) có:

+) \({\widehat D_1} = {\widehat D_2}\) (đối đỉnh); 

+) DB = DE (cmt);

+) \(\widehat {K{\rm{D}}B} = \widehat {CE{\rm{D}}}\) (cmt).

Do đó \(\Delta DBK = \Delta DEC\) (g.c.g).

c) Ta có \(AB = A{\rm{E}}\) (gt), \(\Delta \Delta {\rm B}{\rm K} = \Delta DEC\) (cmt) \( \Rightarrow BK = EC\) (cmt) \( \Rightarrow AB + BK = A{\rm{E}} + EC\) hay \(AK = AC.\)

d) \(\Delta ABC\) cân tại A (cmt); có AD là phân giác (gt) nên AD cũng đồng thời là đường cao, hay \(A{\rm{D}} \bot KC.\)

Vậy \(\Delta AKC\) cân tại A.