Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Đề số 1 - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Câu 1:Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại \({x_{0}}\)

A. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f(x + \Delta x) - f({x_0})} \over {\Delta x}}\)                       

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f(x) - f({x_0})} \over {x - {x_0}}}\)

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f(x) - f({x_0})} \over {x - {x_0}}}\)       

D. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f({x_0} + \Delta x) - f(x)} \over {\Delta x}}\)

Câu 2: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{3 - \sqrt {4 - x} \,\,\,khi\,\,x \ne 0 \hfill \cr1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr}  \right.\). Khi đó \(f'\left( 0 \right)\)là kết quả nào sau đây?

A. \({1 \over 4}\)

B. \({1 \over {16}}\)                                       

C. \({1 \over 2}\)                                            

D. 2

Câu 3: Đạo hàm của hàm số \(y = {({x^3} - 2{x^2})^{2016}}\)là

A. \(y' = 2016{({x^3} - 2{x^2})^{2015}}\)           

B. \(y' = 2016{({x^3} - 2{x^2})^{2015}}(3{x^2} - 4x)\)

C. \(y' = 2016({x^3} - 2{x^2})(3{x^2} - 4x)\) 

D. \(y' = 2016({x^3} - 2{x^2})(3{x^2} - 2x)\)

Câu 4: Cho hàm số \(f(x) = {{ - 4x - 3} \over {x + 5}}\) Đạo hàm của hàm số trên là

A. \(f'(x) =  - {{17} \over {{{(x + 5)}^2}}}\)                       

B. \(f'(x) =  - {{19} \over {{{(x + 5)}^2}}}\)       

C. \(f'(x) =  - {{23} \over {{{(x + 5)}^2}}}\)       

D.\(f'(x) = {{17} \over {{{(x + 5)}^2}}}\)

Câu 5: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{\sqrt x } \over x}\,\,khi\,\,x \ne 0 \hfill \cr0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr}  \right.\) Xét hai mệnh đề sau:

(I) Hàm số liên tục tại \(x_0=0\)

(II) Hàm số không có đạo hàm tại \({x_0} = 0\)

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I)                               

B. Chỉ (II)                              

C. Cả 2 đều đúng                   

D. Cả 2 đều sai.

Câu 6: Cho hàm số \(f(x) = {1 \over 3}{x^3} - 2\sqrt 2 {x^2} + 8x - 1\) Tập hợp những giá trị của x để \(f'(x) = 0\) là

A. \(\left\{ { - 2\sqrt 2 } \right\}\)                                       

B. \(\left\{ {2;\sqrt 2 } \right\}\) 

C. \(\left\{ { - 4\sqrt 2 } \right\}\)                              

D. \(\left\{ {2\sqrt 2 } \right\}\)

Câu 7: Cho hàm số \(f(x) =  - 2\sqrt x  + 3x\) Để \(f'(x) > 0\) thì x nhận các giá trị nào?

A. \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)                              

B. \(\left( { - \infty ;{1 \over 9}} \right)\)          

C. \(\left( {{1 \over 9}; + \infty } \right)\)                                          

D. \(\emptyset \)

Câu 8: Tìm m để hàm số \(y = (m - 1){x^3} - 3(m + 2){x^2} - 6(m + 2)x + 1\) có \(y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

A. \(m \ge 1\)                       

B. \(-2\le m \le 0\)                         

C. \(m \in \emptyset\)                    

D. \(m > 1 \)

Câu 9: Cho hàm số \(y = {{\cos 2x} \over {1 - \sin x}}\) Tính \(y'\left( {{\pi  \over 6}} \right)\)bằng

A.1                                      

B. -1                                      

C. \(\sqrt 3 \)                     

D. \(- \sqrt 3 \)

Câu 10: Hàm số \(y = \cot 3x - {1 \over 2}\tan 2x\)có đạo hàm là

A. \({{ - 3} \over {{{\sin }^2}3x}} + {1 \over {{{\cos }^2}2x}}\)                                  

B. \({{ - 3} \over{{{\sin }^2}3x}} - {1 \over {{{\cos }^2}2x}}\)                                

C. \({{ - 3} \over {{{\sin}^2}3x}} - {x \over {{{\cos }^2}2x}}\)                            

D. \({{ - 1} \over {{{\sin }^2}x}} - {1 \over {{{\cos }^2}2x}}\)

Câu 11: Tìm vi phân của hàm số \(y = \sqrt {3x + 2} \)

A. \(dy = {3 \over {\sqrt {3x + 2} }}dx\)                            

B. \(dy = {1 \over {2\sqrt {3x + 2} }}dx\)         

C. \(dy = {1 \over {\sqrt {3x + 2} }}dx\) 

D. \(dy = {3 \over {2\sqrt {3x + 2} }}dx\)

Câu 12: Cho hàm số \(y = {{x + 3} \over {1 - 2x}}\) Vi phân của hàm số trên tại \(x = -3\) là

A. \(dy = {1 \over 7}dx\)    

B. \(dy = 7dx\)                      

C. \(dy = {{ - 1} \over 7}dx\)     

D. \(dy =  - 7dx\)

Câu 13: Hàm số \(y = {x \over {x - 2}}\)có đạo hàm cấp hai là

A. \(y'' = 0\)                           

B. \(y'' = {1 \over {{{(x - 2)}^2}}}\)                                      

C. \(y'' =  - {4 \over {{{(x - 2)}^2}}}\)                               

D. \(y'' = {4 \over {{{(x - 2)}^3}}}\)

Câu 14: Cho hàm số \(y = f(x)\), có đồ thị (C) và điểm \({M_0}({x_0};f({x_0})) \in (C)\) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₀ là

A. \(y = f'(x)(x - {x_0}) + {y_0}\)         

B. \(y = f'({x_0})(x - {x_0})\)

C. \(y - {y_0} = f'({x_0})(x - {x_0})\)           

D. \(y - {y_0} = f'({x_0})x\)

Câu 15: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {1 \over {\sqrt {2x} }}\)tại điểm \(A\left( {{1 \over 2};1} \right)\)có phương trình là

A. \(2x + 2y =  - 3\)               

B. \(2x - 2y =  - 1\)                

C. \(2x + 2y = 3\)                     

D. \(2x - 2y = 1\)        

Câu 16: Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = {x^4} + x\) Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng \(d:x + 5y = 0\)có phương trình là             

A. \(y = 5x - 3\)                     

B. \(y = 3x - 5\)                      

C. \(y = 2x - 3\)                        

D. \(y = x + 4\)

Câu 17: Cho hàm số \(y = {{2x + 2} \over {x - 1}}\)(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:y =  - 4x + 1\)

A. \(y =  - 4x - 2;y =  - 4x + 14\)             

B. \(y =  - 4x + 21;y =  - 4x + 14\)

C. \(y =  - 4x + 2;y =  - 4x + 1\)     

D. \(y =  - 4x + 12;y =  - 4x + 14\)

Câu 18: Cho hàm số \(y = {x \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}\) Khi đó \(y'(0)\) bằng

A. \({1 \over 2}\)                   

B. \({1 \over 3}\)                    

C. 1                                        

D. 2

Câu 19: Đạo hàm của hàm số \(y = x\sqrt {{x^2} - 2x} \) là

A. \(y' = {{2x - 2} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}\)                   

B. \(y' = {{3{x^2} - 4x} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}\) 

C. \(y' = {{2{x^2} - 3x} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}\)               

D.\(y' = {{2{x^2} - 2x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}\)

Câu 20: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định: \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1} \over x}\,\,khi\,\,x \ne 0 \hfill \cr0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr}  \right.\) Giá trị của \(f'\left( 0 \right)\) bằng:

A. \({1 \over 2}\)                                            

B. \(- {1 \over 2}\)                              

C. \(- 2\)                                  

D. Không tồn tại.

Câu 21: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2} + \left| {x + 1} \right|} \over x}\) Tính đạo hàm của hàm số tại \({x_0} =  - 1\)

A. 2                                        

B. 1                                        

C. 0                            

D. Không tồn tại.

Câu 22: Cho hàm số \(f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right)\) Tính \(f'\left( 0 \right)\)?

A. 10000!                               

B. 1000!                                 

C. 1100!                                 

D. 1110!

Câu 23: Hàm số \(y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3}\)có đạo hàm cấp ba là:

A. \(y''' = 12x\left( {{x^2} + 1} \right)\)         

B. \(y''' = 24x\left( {{x^2} + 1} \right)\)                       

C. \(y''' = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)\)

D. \(y''' =  - 12x\left( {{x^2} + 1} \right)\)

Câu 24: Giả sử \(h\left( x \right) = 5{\left( {x + 1} \right)^3} + 4\left( {x + 1} \right)\) Tập nghiệm của phương trình \(h''\left( x \right) = 0\) là:

A. \(\left[ { - 1;2} \right]\)                              

B. \(\left( { - \infty ;0} \right]\)                                  

C. \(\left\{ { - 1} \right\}\)                                 

D. \(\emptyset \)

Câu 25: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {{2x + 1} \over {x - 1}}\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\) có hệ số góc \(k = ?\)

A. \(k =  - 1\)                          

B. \(k =  - 3\)                          

C. \(k = 3\)                             

D. \(k = 5\)

Lời giải chi tiết

Đáp án:

1C	2A	3B	4A	5B
6D	7C	8C	9D	10B
11D	12A	13D	14C	15C
16A	17A	18A	19C	20A
21D	22B	23C	24C	25B

Câu 1: Đáp án C

Giới hạn (nếu tồn tại) dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\)  tại \({x_{^0}}\)là: . \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)

Câu 2: Đáp án A

\(f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3 - \sqrt {4 - x}  - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{x(2 + \sqrt {4 - x} )}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{2 + \sqrt {4 - x} }} = \dfrac{1}{4}\)

Câu 3: Đáp án B

y’ = 2016( x³ - 2x²)²⁰¹⁵(x³ – 2x²)’ = 2016( x³ - 2x²)²⁰¹⁵(3x² -4x)

Câu 4: Đáp án A

\(f'(x) = \dfrac{{( - 4x - 3)'(x + 5) - (x + 5)'( - 4x - 3)}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} \)

\(\;\;\;= \dfrac{{ - 4(x + 5) - ( - 4x - 3)}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} \)

\(\;\;\;= \dfrac{{ - 4x - 20 + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 17}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}\)

Câu 5: Đáp án B

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt x }}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} =  + \infty \)

Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\) nên hàm số không liên tục tại \({x_0} = 0\) nên (I) sai.

Do đó hàm số không có đạo hàm tại \({x_0} = 0\) nên (II) đúng.

Câu 6: Đáp án D

\(\begin{array}{l}f'(x) = {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2\sqrt 2 {x^2} + 8x - 1} \right)^\prime } \\= {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8\\f'(x) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2\sqrt 2 } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy \(f'(2\sqrt 2 ) = 0\)

Câu 7: Đáp án C

\(\begin{array}{l}f'(x) = ( - 2\sqrt x  + 3x)' = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }} + 3\\f'(x) > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }} + 3 > 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }} >  - 3\\ \Leftrightarrow \sqrt x  > \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{9}\end{array}\)

Vậy \(x \in \left( {\dfrac{1}{9}; + \infty } \right)\)

Câu 8: Đáp án C

\(\begin{array}{l}y' = \left[ {\left( {m - 1} \right){x^3} - 3\left( {m + 2} \right){x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x + 1} \right]'\\ = 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x - 6\left( {m + 2} \right)\\y' \ge 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x - 6\left( {m + 2} \right) \ge 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - 2\left( {m + 2} \right) \ge 0,\forall x \in R\end{array}\)

Với \(m = 1\) thì \(y' =  - 18x - 18 \ge 0 \Leftrightarrow x \le  - 1\) nên không thỏa mãn bài toán.

Do đó

\(\begin{array}{l}y' \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\{\left( {m + 2} \right)^2} + 2\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left( {m + 2} \right)\left( {m + 2 + 2m - 2} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left( {m + 2} \right).3m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\ - 2 \le m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \end{array}\)  

Do đó không có m thỏa mãn bài toán.

Câu 9: Đáp án D

\(y' = \left( {\dfrac{{\cos 2x}}{{1 - \sin x}}} \right)' \\\;\;\;= \dfrac{{\left( {\cos 2x} \right)'\left( {1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right) - \left( {1 - \sin x} \right){\rm{'cos}}2x}}{{{{\left( {1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)}^2}}} \\\;\;\;= \dfrac{{ - 2\sin 2x(1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}) + \cos x\cos 2x}}{{{{\left( {1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)}^2}}}\)

\(y'\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{{ - 2\sin \dfrac{\pi }{3}\left( {1 - \sin \dfrac{\pi }{6}} \right) + \cos \dfrac{\pi }{6}\cos \dfrac{\pi }{3}}}{{{{\left( {1 - \sin \dfrac{\pi }{6}} \right)}^2}}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{ - 2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right) + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{2}}}{{{{\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right)}^2}}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{\dfrac{{ - \sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{1}{4}}} =  - \sqrt 3 \)

Câu 10: Đáp án B

\(y' = \left( {\cot 3x - \dfrac{1}{2}\tan 2x} \right)' \)\(\;= \left( {\cot 3x} \right)' - \left( {\dfrac{1}{2}\tan 2x} \right)' \)\(\;=  - \dfrac{3}{{{{\left( {\sin 3x} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {\cos 2x} \right)}^2}}}\)

Câu 11: Đáp án D

\(dy = d(\sqrt {3x + 2} ) = \left( {\sqrt {3x + 2} } \right)'dx \)\(\;= \dfrac{3}{{2\sqrt {3x + 2} }}dx\)

Câu 12: Đáp án A

\(\begin{array}{l}dy = d\left( {\dfrac{{x + 3}}{{1 - 2x}}} \right) \\\;\;\;= {\left( {\dfrac{{x + 3}}{{1 - 2x}}} \right)^\prime }dx \\\;\;\;= \dfrac{{(x + 3)'(1 - 2x) - {{\left( {1 - 2x} \right)}^\prime }(x + 3)}}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}dx\\\;\;\; = \dfrac{{1 - 2x + 2(x + 3)}}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}dx\\\;\;\; = \dfrac{7}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}dx\end{array}\)

Tại x = -3 ta được \(dy = \dfrac{7}{{{{\left( {1 - 2.( - 3)} \right)}^2}}}dx = \dfrac{7}{{49}}dx = \dfrac{1}{7}dx\)

Câu 13: Đáp án D

\(y' = \left( {\dfrac{x}{{x - 2}}} \right)' \)

\(= \dfrac{{x'(x - 2) - \left( {x - 2} \right)'x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \)\(\;= \dfrac{{x - 2 - x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

\(y'' = {\left( {\dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right)^\prime } \)\( =  - 2.\frac{{ - \left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]}^2}}} =  - 2.\frac{{ - 2\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}}\) \(= \dfrac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\)

Câu 14: Đáp án C

Hàm số \(y = f(x)\), có đồ thị (C) và điểm \({M_0}({x_0};f({x_0})) \in (C)\). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₀ là \(y = f'({x_0})(x - {x_0}) + {y_o}\)

Câu 15: Đáp án C

Ta có:

\(y' = \left( {\frac{1}{{\sqrt {2x} }}} \right)' =  - \frac{{\left( {\sqrt {2x} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {2x} } \right)}^2}}} \) \(=  - \frac{{\frac{2}{{2\sqrt x }}}}{{2x}} =  - \frac{1}{{2x\sqrt {2x} }}\)

Suy ra \(y'\left( {\frac{1}{2}} \right) =  - \frac{1}{{2.\frac{1}{2}\sqrt {2.\frac{1}{2}} }} =  - 1\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{\sqrt {2x} }}\) tại điểm \(A\left( {\dfrac{1}{2};1} \right)\)là:

\(y = f'(\dfrac{1}{2}).(x - \dfrac{1}{2}) + 1 \) \(=  - 1(x - \dfrac{1}{2}) + 1 =  - x + \dfrac{3}{2}\) hay \(2x + 2y = 3\)

Câu 16: Đáp án A

(C): y = x⁴ + x            

d: x + 5y=0

Ta có: y’ = 4x³ + 1

Đường thẳng x + 5y = 0\( \Leftrightarrow y =  - \frac{1}{5}x\) có hệ số góc k₁ = \( - \dfrac{1}{5}\)

Vì tiếp tuyến của (C) vuông góc với d nên có hệ số góc k = 5

Ta có: f’(x₀) = 5 \( \Leftrightarrow \)4x₀³ + 1 = 5 \( \Rightarrow \)x₀ = 1

Suy ra y₀ = x₀⁴ + x₀ = 1 + 1 = 2

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) là: y = 5(x – 1) + 2 hay y = 5x – 3

Câu 17: Đáp án A

(C): \(y = \dfrac{{2x + 2}}{{x - 1}}\)

\(d:y =  - 4x + 1\)

Ta có \(y' = \dfrac{{ - 4}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

Đường thẳng \(y =  - 4x + 1\) có hệ số góc k = -4

Vì tiếp tuyến của (C) song song với d nên có hệ số góc k = -4

Ta có: f’(x₀) = -4 \( \Leftrightarrow \)\(\dfrac{{ - 4}}{{{{({x_0} - 1)}^2}}} =  - 4 \Leftrightarrow {({x_0} - 1)^2} = 1 \Leftrightarrow {x_0} = 0\)hoặc \({x_0} = 2\)

Với \({x_0} = 0\) thì y₀ = -2

Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = -4x – 2

Với \({x_0} = 2\) thì y₀ = 6

Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = -4(x – 2) + 6 \( \Leftrightarrow \)y = -4x +14

Vậy tìm được 2 pttt của (C) thỏa mãn bài toán là: y = -4x – 2 và y = -4x + 14

Câu 18: Đáp án A

\(\begin{array}{l}y' = {\left( {\dfrac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} \right)^\prime } \\\;\;\;= \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}}  + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}}{{4 - {x^2}}} \\\;\;\;= \dfrac{{4 - {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {{{(4 - {x^2})}^3}} }}\\\;\;\; = \dfrac{4}{{\sqrt {{{(4 - {x^2})}^3}} }}\\y'(0) = \dfrac{4}{{\sqrt {{4^3}} }} = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Câu 19: Đáp án C

\(y' = (x\sqrt {{x^2} - 2x} )'\)

\(\;\;\;= \sqrt {{x^2} - 2x}  + \dfrac{{(x - 1)x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }} \)

\(\;\;\;= \dfrac{{{x^2} - 2x + {x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}\)

\(\;\;\;= \dfrac{{2{x^2} - 3x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}\)

Câu 20: Đáp án A

\(\begin{array}{l}f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{x}}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{{x^2}}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{(\sqrt {{x^2} + 1}  - 1)(\sqrt {{x^2} + 1}  + 1)}}{{{x^2}(\sqrt {{x^2} + 1}  + 1)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}(\sqrt {{x^2} + 1}  + 1)}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}} = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Câu 21: Đáp án D

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ -  } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ -  } \dfrac{{{x^2} + 1 - x}}{x}\\ =  - 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ +  } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ +  } \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{x} =  - 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ -  } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ +  } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x}\end{array}\)

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x₀ = -1

Câu 22: Đáp án B

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right)\\\end{array}\)

Đặt  \(g(x) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f(x) = x.g(x)\\f'(x) = g(x) - x.g'(x)\\ \Rightarrow f'(0) = g(0)\\= ( - 1).( - 2)...( - 1000) \\= 1.2.....1000 = 1000!\end{array}\)

Câu 23: Đáp án C

\(\begin{array}{l}
y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3}\\
= {x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1\\
y' = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x\\
y'' = 30{x^4} + 36{x^2} + 6\\
y''' = 120{x^3} + 72x = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)
\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}y' = {\left( {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} \right)^\prime } \\= 3{\left( {{x^2} + 1} \right)^\prime }{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 6x{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\\y'' = {\left( {6x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)^\prime }\\\;\;\; = 6{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + 6x{\left( {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)^\prime } \\\;\;\;= \left( {6{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} + 24{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right)\\y''' = \left( {6{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} + 24{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right)' \\\;\;\;= 24x\left( {{x^2} + 1} \right) + 48x\left( {{x^2} + 1} \right) + 48{x^3} \\\;\;\;= 24x({x^2} + 1 + 2\left( {{x^2} + 1} \right) + 2{x^2})\\ \;\;\;= 24x(5{x^2} + 3)\end{array}\)

Câu 24: Đáp án C

\(\begin{array}{l}h'\left( x \right) = {\left[ {5{{\left( {x + 1} \right)}^3} + 4\left( {x + 1} \right)} \right]^\prime }\\ = 15{\left( {x + 1} \right)^2} + 4\\h''(x) = {\left[ {15{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 4} \right]^\prime } = 30\left( {x + 1} \right)\\h''(x) = 0 \Leftrightarrow 30\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x =  - 1\end{array}\)

Câu 25: Đáp án B

\(y' = {\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right)^\prime } \)

\(= \dfrac{{2(x - 1) - (2x + 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

\(y'(2) = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} =  - 3\)