Đề kiểm tra 15 phút – Đề số 1 – Chương IV - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Cho số phức z = 3 – 3i. Tìm khẳng định sai ?

A. Phần thực của z là : 3.

B. Phần ảo của z là: - 3 .

C. Số phức liên hợp của z  là \(\overline z  =  - 3 + 3i\).

D. Môdun của z là  \(|z| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = 3\sqrt 2 \).

Câu 2. Môdun của số phức z khi biết \(\overline z  = 3 - 4i\) là :

A. 5                         B. -3 

C. 4                         D. 7.

Câu 3. Hai điểm biểu diễn hai số phức liên hợp \(z = 1 + 2i\,,\,\,\overline z  = 1 - 2i\) đối xứng nhau qua:

A. Trục tung.                     

B. Trục hoành.

C. Gốc tọa độ.                     

D. Điểm A(2 ; -2 ).

Câu 4. Số phức \(z = \dfrac{{1 + 3i}}{{1 - 2i}}\) bằng:

A. – 1 + i.               B. 1 – i .

C. – 1 – i.                D. 1 + 5i.

Câu 5. Cho hai số phức \({z_1} = 1 + i\,,\,\,{z_2} = 1 - i\). Kết luận nào sau đây sai ?

A. \(|{z_1} - {z_2}| = \sqrt 2 \).   

B. \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = i\).

C. \({z_1} + {z_2} = 2\).                    

D. \(|{z_1}.{z_2}|=2\).

Câu 6. Cho x và y là hai số phức. Trong các phương án sau, hãy lựa chọn phương án sai .

A. \(x + \overline y \,,\,\,\overline x  + y\) là hai số phức liên hợp của nhau.

B. \(x\overline y \,,\,\,\overline x y\) là hai số phức liên hợp của nhau.

C. \(x - \overline y \,,\,\,\overline x  - y\) là hai số phức liên hợp của nhau.

D. \(\overline y  - x\,,\,\,x - \overline y \) là hai số phức liên hợp của nhau.

Câu 7. Cho hai số phức \({z_1} = 2 + 3i\,,\,\,{z_2} = 1 - 2i\). Tìm khẳng định sai.

A. \({z_1} + {z_2} = 3 + i\).    

B. \({z_1} - {z_2} = 1 + 5i\)t          

C. \({z_1}.{z_2} = 8 - i\)             

D. \({z_1}.{z_2} = 8 + i\).

Câu 8. Số phức z thỏa  mãn \(|z| + z = 0\). Khi đó:

A. z là số thuần ảo.

B. Mô đun của z bằng 1.

C. z là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0.

D. Phần thực của z là số âm.

Câu 9. Nghịch đảo của số phức z=i là :

A. i                             B. 1      

C. \(\dfrac{{ - 1}}{i}\)                      D. – i.

Câu 10. Phương trình \(2{z^2} + 4z + 5 = 0\) có các nghiệm là :

A. \(\dfrac{{2 \pm i\sqrt 6 }}{2}\).  

B. \(\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{{i\sqrt 6 }}{2}\).

C. \( - 1 \pm \dfrac{{i\sqrt 6 }}{2}\).            

D. \( - \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{{i\sqrt 6 }}{2}\).

Lời giải chi tiết

Đáp án và lời giải chi tiết 

Câu 1.

Số phức \(z = 3 - 3i\) có:

+ Phần thực của z là: 3.

+ Phần ảo của z là: - 3.

+ Môdun của z là  \(|z| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = 3\sqrt 2 \).

+ Số phức liên hợp của z là \(\overline z  = 3 + 3i\)

Chọn đáp án C.

Câu 2.

Ta có: \(\overline z  = 3 - 4i\)

\(\Rightarrow z = 3 + 4i \to \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\)

Chọn đáp án A.

Câu 3.

Hai điểm biểu diễn lần lượt của hai số phức là \(M\left( {1;2} \right),\;N\left( {1; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \) Hai điểm đó đối xứng với nhau qua trục hoành.

Chọn đáp án B.

Câu 4.

\(\begin{array}{l}
\frac{{1 + 3i}}{{1 - 2i}} = \frac{{\left( {1 + 3i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}{{\left( {1 - 2i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}\\
= \frac{{1 + 3i + 2i + 6{i^2}}}{{{1^2} - 4{i^2}}}\\
= \frac{{1 + 5i - 6}}{{1 + 4}} = \frac{{ - 5 + 5i}}{5}\\
= - 1 + i
\end{array}\)

Cách khác:

Ta có: \(z = \dfrac{{1 + 3i}}{{1 - 2i}} = a + bi\)

\(\Leftrightarrow 1 + 3i = \left( {1 - 2i} \right)\left( {a + bi} \right)\)

\( \Leftrightarrow 1 + 3i = a + bi - 2ai + 2b\)\( \Leftrightarrow \left( {2a - b + 3} \right)i + 1 - a - 2b = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b + 3 = 0\\1 - a - 2b = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b =  - 3\\a + 2b = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(z =  - 1 + i\)

Chọn đáp án B

Câu 5.

\(\begin{array}{l}
\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {1 + i - 1 + i} \right|\\
= \left| {2i} \right| = \sqrt {{0^2} + {2^2}} = 2
\end{array}\)

nên A sai.

\(\begin{array}{l}\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {1 + i} \right)}}\\ = \frac{{1 + 2i + {i^2}}}{{1 - {i^2}}} = \frac{{1 + 2i - 1}}{{1 + 1}}\\ = \frac{{2i}}{2} = i\end{array}\)

Nên B đúng.

\({z_1} + {z_2} = 1 + i + 1 - i = 2\)

Nên C đúng.

\(\begin{array}{l}{z_1}.{z_2} = \left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)\\ = 1 - {i^2} = 1 + 1 = 2\\ \Rightarrow \left| {{z_1}.{z_2}} \right| = 2\end{array}\)

Nên D đúng.

Chọn đáp án A.

Câu 6.

Giả sử gọi \(\left\{ \begin{array}{l}x = a + bi\\y = m + ni\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overline x  = a - bi\\\overline y  = m - ni\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(x + \overline y \, = a + bi + m - ni \)\(\,= \left( {a + m} \right) + \left( {b - n} \right)i\,\)

\(\,\overline x  + y = a - bi + m + ni \)\(\,= \left( {a + m} \right) - \left( {b - n} \right)i\)

\( \Rightarrow \)\(x + \overline y \,,\,\,\overline x  + y\) là hai số phức liên hợp của nhau

\(x\overline y  = \left( {a + bi} \right)\left( {m - ni} \right) \)\(\,= am - ani + bmi + bn \)\(\,= \left( {am + bn} \right) - \left( {an - bm} \right)i\)

\(\overline x y = \left( {a - bi} \right)\left( {m + ni} \right) \)\(\,= am + ani - bmi + bn \)\(\,= \left( {am + bn} \right) + \left( {an - bm} \right)i\)

\( \Rightarrow \) \(x\overline y \,,\,\,\overline x y\) là hai số phức liên hợp của nhau.

\(x - \overline y  = a + bi - \left( {m - ni} \right) \)\(\,= \left( {a - m} \right) + \left( {b + n} \right)i\)

\(\overline x  - y = a - bi - m - ni \)\(\,= \left( {a - m} \right) - \left( {b + n} \right)i\)

\( \Rightarrow \)\(x - \overline y \,,\,\,\overline x  - y\) là hai số phức liên hợp của nhau.

Do đó A, B, C đúng.

D sai vì \(\overline y  - x\,,\,\,x - \overline y \) là hai số phức đối nhau.

Chọn đáp án D.

Câu 7.

Ta có: \({z_1}{z_2} = \left( {2 + 3i} \right)\left( {1 - 2i} \right) \)\(\,= 2 - 4i + 3i + 6 = 8 - i\)

\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.

Chọn đáp án D.

Câu 8.

\(\begin{array}{l}
\left| z \right| + z = 0\\
\Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 0\\
\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 0\\
\left| a \right| + a = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 0\\
\left| a \right| = - a
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 0\\
a \le 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy z là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0.

Chọn đáp án C.

Câu 9:

Nghịch đảo của số phức z=i là \(\frac{1}{z} = \frac{1}{i} = \frac{i}{{{i^2}}} = \frac{i}{{ - 1}} =  - i\)

Chọn đáp án D.

Câu 10.

Ta có: \(2{z^2} + 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow z =  - 1 \pm \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}i\)

Chọn đáp án C