Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đề số 1 – Đại số và giải tích 11

Đề bài

Câu 1: Cho dãy số với \({u_n} = \dfrac{{a{n^2}}}{{n + 1}}\) (a: hằng số ). \({u_{n + 1}}\) là số hạng nào?

A.    \({u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{{(n + 1)}^2}}}{{n + 2}}\)       

B. \({u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{{(n + 1)}^2}}}{{n + 1}}\)          

C. \({u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{n^2} + 1}}{{n + 1}}\) 

D. \({u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{n^2}} }{ {n + 2}}\)

Câu 2: Xét tính tăng giảm của dãy số sau: \({u_n} = \dfrac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}\)

A. Dãy số tăng           

C. Dãy số không tăng không giảm

B.  Dãy số giảm          

D. Cả A,B,C đều sai

Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15;20;25;… Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. \({u_n} = 5(n - 1)\)           

B. \({u_n} = 5.n + 1\)             

C. \({u_n} = 5 + n\)               

D. \({u_n} = 5n\)

Câu 4: Xét tính tăng giảm của dãy số sau: \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} \)

A. Dãy số tăng    

B. Dãy số giảm 

C. Dãy số không tăng không giảm

D. Cả A ,B,C đều sai

Câu 5: Cho dãy số với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} =  - 2}\\{{u_{n + 1}} =  - 2 - \dfrac{1}{{{u_n}}}}\end{array}} \right.\) Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là :

A.  \({u_n} =  - \dfrac{{n - 1}}{n}\)   

B. \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{n}\)     

C. \(u_n=\dfrac{1}{n}\)  

D. \({u_n} =  - \dfrac{{n + 1}}{n}\)

Câu 6: Xét tính tăng giảm của dãy số sau: \({u_n} = \dfrac{{n + {{( - 1)}^n}}}{{{n^2}}}\)

A.    Dãy số tăng                                                  C. Dãy số không tăng không giảm

B.     Dãy số giảm                                                  D. Cả A , B, C đều sai

Câu 7: Cho dãy số \(({u_n})\)với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 5}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + n}\end{array}} \right.\). Số hạng tổng quát \({u_n}\)của dãy số là số hạng nào dưới đây ?

A.    \({u_n} = \dfrac{{(n - 1)n}}{2}\)   

C. \({u_n} = 5 + \dfrac{{(n + 1)n}}{2}\)

B.     \({u_n} = 5 + \dfrac{{(n - 1)n}}{2}\) 

D. \({u_n} = 5 + \dfrac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\)

Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(({u_n})\)biết : \({u_n} = 1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{n^2}}}\)

A.    Dãy số tăng, bị chặn                                     C. Dãy số giảm, bị chặn trên

B.     Dãy số tăng, bị chặn dưới                            D. CảA,B,C đều sai

Câu 9: Dãy số \({u_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}}\) có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên

A.    2                      B. 4                           C. 1                            D. Không có

Câu 10: Xét tính bị chặn của dãy số sau: \({u_n} = {( - 1)^n}\)

A.    Bị chặn             B. Không bị chặn          C. Bị chặn trên             D. Bị chặn dưới

Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết: 

Câu 1: 

Ta có: \({u_n} = \dfrac{{a{n^2}}}{{n + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{{a{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\)

Chọn đáp án A.

Câu 2:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_n} = \dfrac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}} = 3n - 5 + \dfrac{6}{{n + 1}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = 3(n + 1) - 5 + \dfrac{6}{{n + 2}} = 3n - 2 + \dfrac{6}{{n + 2}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 3 + \dfrac{6}{{n + 2}} - \dfrac{6}{{n + 1}}\\ = \dfrac{{3({n^2} + 3n + 2) - 6}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{3{n^2} + 9n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\end{array}\)

Dãy số tăng.

Chọn đáp án A.

Câu 3: 

Số hạng tổng quát của dãy số này là:\({u_n} = 5n\)

Chọn đáp án D.

Câu 4:

Ta có: \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} \) \( \Rightarrow {u_{n + 1}} = n + 1 - \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1}  = n + 1 - \sqrt {{n^2} + 2n} \)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1 - \sqrt {{n^2} + 2n} } \right) \, - \left( {n - \sqrt {{n^2} - 1} } \right)\)\( = \sqrt {{n^2} - 1}  - \sqrt {{n^2} + 2n}  + 1 < 0\)

Dãy số giảm.

Chọn đáp án B.

Câu 5:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - \dfrac{2}{1}\\{u_2} =  - \dfrac{3}{2}\\{u_3} =  - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\quad  \Rightarrow {u_n} =  - \dfrac{{n + 1}}{n}\)

Chọn đáp án D.

Câu 6: 

Ta có: \({u_n} = \dfrac{{n + {{( - 1)}^n}}}{{{n^2}}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1 - {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{n + 1 - {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{n + {{( - 1)}^n}}}{{{n^2}}}\)

\(= \dfrac{{{n^3} + {n^2} - {n^2}{{\left( { - 1} \right)}^n} - \left( {{n^3} + 2{n^2} + n} \right) - {{\left( { - 1} \right)}^n}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)

\( = \dfrac{{ - {n^2} - {{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {2{n^2} + 2n + 1} \right) - n}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)

+ n lẻ ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{ - {n^2} + 2{n^2} + 2n + 1 - n}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{n^2} + n + 1}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} > 0\)

+ n chẵn ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{ - {n^2} - 2{n^2} - 2n - 1 - n}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)\(\, = \dfrac{{ - 3{n^2} - 3n - 1}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < 0\)

Dãy số không tăng không giảm.

Chọn đáp án C.

Câu 7: 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_2} = 6\\{u_3} = 8\\{u_4} = 11\end{array} \right.\quad  \Rightarrow {u_n} = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)

Chọn đáp án B.

Câu 8: 

Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng

\({u_n} < 1 + \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{\left( {n - 1} \right)n}} = 2 - \dfrac{1}{n}\)

\( \Rightarrow 1 < {u_n} < 2 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) bị chặn

Chọn đáp án A.

Câu 9: 

Ta có: \({u_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}} = \dfrac{{{n^2} + 2n + 1 + n + 6}}{{n + 1}} = n + 2 + \dfrac{5}{{n + 1}}\)

Nhận thấy chỉ có \({u_4}\) nhận giá trị nguyên

Chọn đáp án C.

Câu 10: 

Ta có: \({u_n} = {( - 1)^n}\)

+ Với n lẻ ta có \({u_n} =  - 1\)

+ Với n chẵn ta có: \({u_n} = 1\)

Vậy \({u_n} \in \left\{ { - 1;1} \right\}\)

Chọn đáp án A.