Đề cương ôn thi học kì I môn toán lớp 10 (bài tập)

PHẦN 1

Mệnh đề- Tập hợp

Bài 1: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) 2 là số chẵn

b) 2 là số nguyên tố

c) 2 là số chính phương

Giải:

Mệnh đề đúng là a và b

Mệnh đề sai là c

Bài  2: Tìm \(x \in D\) để \(P(x)\) đúng trong các trường hợp sau:

a) \(P(x)\): “\(2x + 3 \le 0\)”

b) \(P(x)\): “\({\left( {2x + 3} \right)^2} \le 0\)”

Giải:

a) \(2x + 3 \le 0 \Leftrightarrow x \le  - \dfrac{3}{2}\)\( \Rightarrow D = \left( { - \infty ; - \dfrac{3}{2}} \right]\)

b)

\({\left( {2x + 3} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow 2x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow x =  - \dfrac{3}{2} \)\(\Rightarrow D = \left\{ { - \dfrac{3}{2}} \right\}\)

Bài 3: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí:

a) Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác đó là hình thoi có một góc vuông.

b) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.

c) Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho 2 thì \({n^2}\) chia hết cho 4.

Giải:

a) Tứ giác ABCD là hình vuông là điều kiện cần và đủ để ABCD là hình thoi có một góc vuông.

b) Số chia hết cho 6 là điều kiện cần và đủ để số đó chia hết cho 2 và cho 3.

c) \(n\) chia hết cho 2 là điều kiện đủ để \({n^2}\) chia hết cho 4.

\({n^2}\) chia hết cho 4 là điều kiện cần để \(n\) chia hết cho 2.

Bài 4: Chứng minh định lí “ Nếu n là số tự nhiên chẵn thì \({n^2}\) chia hết cho 4”

Giải:

Vì n chẵn nên \(n = k(k \in \mathbb{N})\). Khi đó \({n^2} = 4{k^2}\) chia hết cho 4 nên \({n^2}\) chia hết cho 4.

Bài 5: Chứng minh đinh lí “ Với mọi số tự nhiên n nếu 3n+2 là số lẻ thì n là số lẻ”

Giải:

Giả sử n là số chẵn khi đó \(n = 2k(k \in \mathbb{N})\)

\( \Rightarrow 3n + 2 = 3.2k + 2 = 2\left( {3k + 1} \right)\) chia hết cho 2 nên 3n+2 là số chẵn trái với dữ kiện bài cho. Vậy n lẻ.

Bài 6. Tìm tập hợp các nghiệm thực của phương trình

\(x\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\)

Giải:

Cách 1: \(A = \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;2} \right\}\)

Cách 2: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0} \right\}\)

Bài 7. Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp sau \(A = \left\{ {0;3;5} \right\}\)

Giải:

Tập con của A là: \(\emptyset ;\left\{ 0 \right\};\left\{ 3 \right\};\left\{ 5 \right\};\left\{ {0;3} \right\};\left\{ {3;5} \right\};\left\{ {0;5} \right\};A\)

Bài 8:  Hai tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 2 \le x \le 2} \right\}\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - x - 6 < 0} \right\}\) có bằng nhau không?

Giải:

Ta có:\(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 2 < x < 3} \right\}\)

Vì \( - 2 \in A\) mà \( - 2 \notin B\) nên \(A \not\subset B\)\( \Rightarrow A \ne B\)

Bài 9: Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x\left( {{x^2} - x - 6} \right) = 0} \right\}\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^4} - 13{x^2} + 36 = 0} \right\}\). Tìm \(A \cap B;A \cup B;A\backslash B;B\backslash A\)

Giải:

\(A = \left\{ { - 2;0;3} \right\}\);\(B = \left\{ { - 3; - 2;2;3} \right\}\)

\(A \cap B = \left\{ { - 2;3} \right\}\);\(A \cup B = \left\{ { - 3; - 2;0;2;3} \right\}\);\(A\backslash B = \left\{ 0 \right\}\);\(B\backslash A = \left\{ {2; - 3} \right\}\).

---

PHẦN 2

Hàm số bậc nhất và bậc hai

Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số

a) \(y = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {x + 6} }}\)                           \(D = \left( { - 6; + \infty } \right)\)

b) \(y = \dfrac{3}{{x - 1}}\)                                 \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

c) \(y = \sqrt {x - 5}  + {x^2} + 1\)                \(D = \left[ {5; + \infty } \right)\)

d) \(y = \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{{x^2} + 4x + 3}}\)                      \(D = \left[ { - 2; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\)

Bài 2: Xét tính chẵn- lẻ hàm số \(y = \left| {x + 2} \right|\).

Giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Ta có \( - x \in D\forall x \in D\) và

\(f\left( { - x} \right) = \left| {\left( { - x} \right) + 2} \right|\\ = \left| { - x + 2} \right| \ne  \pm \left| {x + 2} \right|\)\( \Rightarrow \) Hàm số không chẵn không lẻ.

Bài 3. Cho hàm số \(y = x + 2\).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Tịnh tiến đồ thị trên sang phải 3 đơn vị rồi xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số nào?

c) Vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {x + 2} \right|\).

Giải:

a) a=1 nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị của hàm số là một đường thẳng qua 2 điểm \(A\left( {0;2} \right),B\left( { - 2;0} \right)\).

 

b) Tịnh tiến đồ thị sang phải 3 đơn vị ta được đồ thị của hàm số \(y = \left( {x - 3} \right) + 2 = x - 1\).

Tịnh tiến đồ thị này xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số \(y = x - 1 - 1 = x - 2\).

c)

Ta có \(y = \left| {x + 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x + 2{\rm{  khi }}x \ge  - 2\\ - x - 2{\rm{ khi }}x <  - 2\end{array} \right.\)

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}x + 2{\rm{   khi }}x \ge  - 2\\ - x - 2{\rm{ khi }}x <  - 2\end{array} \right.\) ta được:

 

Bài 4. Tìm m để hàm số \(y = \left( {m - 2} \right)x + 5\):

a) Có đồ thị vuông góc với đường thẳng \(x + 2y + 1 = 0\)

b) Có đồ thị cắt đường thẳng \(y = x + 3\) tại điểm có tung độ bằng \(2\).

c) Đồng biến trên \(\mathbb{R}\) với m nguyên thuộc đoạn \(\left[ {1;5} \right]\).

d) Đồ thị hàm số cắt 2 trục Ox, Oy tại M, N sao cho tam giác OMN cân.

e) \(y > 0\forall x \in \left[ {0;2} \right]\)

Đáp án

a) \(x + 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow y =  - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\)

Đồ thị hàm số \(y = \left( {m - 2} \right)x + 5\) vuông góc với đường thẳng \(y =  - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right).\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) =  - 1 \\\Leftrightarrow m - 1 = 2 \Leftrightarrow m = 3\)

b)

Thay \(y = 2\) vào phương trình đường thẳng \(y = x + 3\) ta được \(x =  - 1\). Đường thẳng \(y = \left( {m - 2} \right)x + 5\) cắt đường thẳng \(y = x + 3\) tại điểm có tung độ bằng 2 khi và chỉ khi \(A\left( { - 1;2} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = \left( {m - 2} \right)x + 5\)\( \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( { - 1} \right) + 5 = 2 \Leftrightarrow m = 5\).

c) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > 2\).

Do m nguyên thuộc đoạn \(\left[ {1;5} \right]\) nên \(m \in \left\{ {2;3;4;5} \right\}\).

d) Đồ thị cắt 2 trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M, N. Nên \(M\left( {\dfrac{5}{{2 - m}};0} \right);N\left( {0;5} \right)\).

Tam giác OMN cân

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow OM = ON \Leftrightarrow \dfrac{5}{{\left| {m - 2} \right|}} = 5\\\Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 1\\m - 2 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\end{array} \right.\end{array}\)

e) \(y > 0\forall x \in \left[ {0;2} \right] \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x + 5 > 0\)\(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\)(1)

TH1: \(m - 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 2\)

\( \Rightarrow \left( {m - 2} \right)x + 5 \ge 0 + 5 = 5 > 0\)\(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\)

TH2: \(m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2\)

\(\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow x <  - \dfrac{5}{{m - 2}}\forall x \in \left[ {0;2} \right]\\ \Leftrightarrow 2 <  - \dfrac{5}{{m - 2}} \Leftrightarrow \dfrac{{2m + 1}}{{m - 2}} < 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < m < 2\end{array}\)

Vậy \(m >  - \dfrac{1}{2}\) thì \(y > 0\)

Bài 5. Cho của hàm số \(y = {x^2} + 2x - 2\) có đồ thị là một parabol (P) .

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Tìm giao điểm của (P) và đường thẳng d: \(y = x + 4\).

c) Tìm m để đường thẳng \(y = \dfrac{m}{2}\) cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm.

Giải:

a) (P) có đỉnh \(I\left( { - 1; - 3} \right)\), trục đối xứng\(x =  - 1\).

Do \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Bảng biến thiên:

 

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right);B\left( {0; - 2} \right);C\left( {2;6} \right)\).

 

b) Hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng \(y = x + 3\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + 2x - 2 = x + 4\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x = 2\end{array} \right.\)

Giao điểm của (P) và đường thẳng \(y = x + 3\) là \(M\left( { - 3; - 1} \right);C\left( {2;6} \right)\).

c) Đường thẳng \(y = \dfrac{m}{2}\) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.

 

Từ đồ thị ta thấy (P) giao với đường thẳng này tại 2 điểm có hoành độ âm khi và chỉ khi 2 điểm đó nằm bên trái trục Oy. Hay \( - 3 < \dfrac{m}{2} <  - 2 \Leftrightarrow  - 6 < m <  - 4\).

Bài 6

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - 6x + 5(P)\).

b) Từ đồ thị (P) suy ra đồ thị \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\):

\(({P_1}):y = \left| {{x^2} - 6x + 5} \right|\)

\(\left( {{P_2}} \right):y = {x^2} - 6\left| x \right| + 5\)

c) Từ đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

          1)\(\left| {{x^2} - 6x + 5} \right| = m + 1\)           2) \({x^2} - 6\left| x \right| + 5 = m - 1\)

d) Tìm m để phương trình \({x^2} - 6x + m - 2 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(1 < {x_1} < {x_2} < 5\)

Giải

a) Đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 6x + 5\) có đỉnh \(I\left( {3; - 4} \right)\), nhận trục x=3 làm trục đối xứng và đi qua các điểm \(A\left( {0;5} \right);B\left( {5;0} \right);C\left( {1;0} \right)\).

 

b) Từ đồ thị (P) ta lấy đối xứng qua trục hoành rồi bỏ đi phần đồ thị có tung độ âm thì ta được đồ thị \(\left( {{P_1}} \right)\).

 

Từ đồ thị (P) ta bỏ đi phần đồ thị có hoành độ âm rồi lấy đối xứng qua trục tung ta được đồ thị của \(\left( {{P_2}} \right)\).

 

 

c)

          1) Hoành độ giao điểm của \(\left( {{P_1}} \right)\) và đường thẳng \(y = m + 1\) là nghiệm của phương trình \(\left| {{x^2} - 6x + 5} \right| = m + 1\) nên số nghiệm của phương trình \(\left| {{x^2} - 6x + 5} \right| = m + 1\)  bằng số giao điểm của đường thẳng \(y = m + 1\) và \(\left( {{P_1}} \right)\).

          2) Hoành độ giao điểm của \(\left( {{P_2}} \right)\) và đường thẳng \(y = m - 1\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 6\left| x \right| + 5 = m - 1\) nên số nghiệm của phương trình \({x^2} - 6\left| x \right| + 5 = m - 1\)  bằng số giao điểm của đường thẳng \(y = m - 1\) và \(\left( {{P_2}} \right)\)

d) Ta có \({x^2} - 6x + m - 2 = 0 \)\(\Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 = 7 - m\).

Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị (P) và đường thẳng \(y = 7 - m\). Ta có:

Với \(x = 1 \Rightarrow y = 0\)

Với \(x = 5 \Rightarrow y = 0\)

Từ đồ thị ta có đường thẳng \(y = 7 - m\) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ thỏa mãn  \(1 < {x_1} < {x_2} < 5\) khi và chỉ khi \( - 3 < 7 - m < 0\)\( \Leftrightarrow 7 < m < 10\).

Bài 7: Cho parabol (P): \(y = {x^2} + \left( {a + 1} \right)x - 2b\). Xác định a, b biết (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y = 1\) và nhận đường thẳng \(x =  - 2\) làm trục đối xứng.

Giải:

(P) cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y = 1\) nên ta có:

\(1 = {0^2} + \left( {a + 1} \right).0 - 2b \Leftrightarrow b =  - \dfrac{1}{2}\)

(P) nhận đường thẳng \(x =  - 2\) làm trục đối xứng nên \( - \dfrac{{a + 1}}{2} =  - 2 \Leftrightarrow a = 3\)

Vậy \(a = 3;b =  - \dfrac{1}{2}\).

Bài 8:

a) Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 4{x^2} - 4mx + {m^2} - m\) trên \(\mathbb{R}\) bằng 2

b) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số \(y =  - 2{x^2} + 3mx + 5m - {m^2}\) trên \(\mathbb{R}\) bằng 6.

Giải:

a) Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 4{x^2} - 4mx + {m^2} - m\) trên \(\mathbb{R}\) bằng 2

Do \(a = 4 > 0\) nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất \(y =  - m\) tại \(x = \dfrac{m}{2}\).

Khi đó,

\(m =  - 2\)

b) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số \(y =  - 2{x^2} + 4mx + 5m - {m^2}\) trên \(\mathbb{R}\) bằng 6.

Do \(a =  - 2 < 0\) nên hàm số đạt GTLN \(y = {m^2} + 5m\) tại \(x = m\).

\( \Rightarrow {m^2} + 5m = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 6\end{array} \right.\)

---

PHẦN 3

Phương trình – Hệ phương trình

Bài 1: Giải và biện luận nghiệm của các phương trình sau theo m

a) \(\left( {2{m^2} + 1} \right)x - m = x - 5\)

b) \(m\left( {x - 2m} \right) = x - m - 1\)

Bài 2. Giải và biện luận các phương trình theo m

a) \(\left( {x - m} \right)\left( {mx + 2} \right) = 0\)

b) \(\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 2m}  = 0\)

Bài 3. Giải và biện luận các phương trình theo tham số m

a) \({x^2} + 2mx + 1 = 0\)

b) \({x^2} - 2mx + m = 0\)

c) \(m{x^2} + 3x + m = 0\)

d) \({x^2} + 2m\left| x \right| + 1 = 0\)

Bài 4. Tìm m nguyên để phương trình \({x^2} + 2mx + m - 3 = 0\)

a) Có 2 nghiệm trái dấu.

b) Có 2 nghiệm phân biệt dương.

c) Vô nghiệm.

d) Có nghiệm duy nhất âm.

e) Có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 6\)

Bài 5. Biện luận số giao điểm của 2 parabol \(y = {x^2} + 2x + 2\) và \(y =  - {x^2} + x - m\) theo tham số m.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \emptyset \)

Bài 6. Giải phương trình

a) \(\left| {x - 4} \right| = x - 2\)

b) \({x^2} - 2x - \left| {x - 1} \right| - 3 = 0\)

Bài 7. Giải và biện luận phương trình sau theo m: \(\left| {x + m} \right| = \left| {2x - 2} \right|\)

Bài 8 Giải các phương trình sau

a) \(\dfrac{{2x + 1}}{{3x + 1}} = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}\)                 

b) \(\dfrac{5}{{x - 2}} = \dfrac{{1 - x}}{{x - 2}} + 2\)

     

c) \(2 + \dfrac{2}{{x - 1}} = \dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{{x^2} + x - 2}}\).

d) \({x^8} - 5{x^2} + 2x + 2 = 0\)         

e) \(5{x^4} + 24{x^2} - 5 = 0\)

Bài 9. Giải và biện luận các phương trình sau theo m

a) \(\dfrac{{x - 3m}}{{x + 1}} = 0\)

b) \(\dfrac{{mx - {m^2} - 1}}{{x - 2}} = 1\)

c) \(\dfrac{m}{{mx - 1}} - \dfrac{2}{{x - m}} = 1\)

 

Bài 10. Tìm \(m\) để phương trình \({x^8} - \left( {2m + 5} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 6m + 7} \right)x\)\( - 3{m^2} - 3 = 0\) (*) có ba nghiệm dương phân biệt.

Bài 11. Giải các phương trình sau

a) \(\sqrt {{x^2} - 1}  = x - 2\)       (đs: \(S = \emptyset \))

b) \(\sqrt {x + 8}  = \sqrt x  + x + 1\)(đs: \(S = \left\{ 1 \right\}\))

c) \(2{x^2} + 2x - \sqrt {4{x^2} + 4x - 1}  = 0\)(đs: \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2};\dfrac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{2}} \right\}\))

d) \(x - 2\sqrt {x + 3}  + 5 = 0\)(đs: \(S = \emptyset \))

 

Bài 12. Giải và biện luận nghiệm phương trình theo tham số m

a) Tìm m để phương trình \(\sqrt {{x^2} + mx + 2}  = 2x + 1\) có hai nghiệm phân biệt.(đs: PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m)

b) Tìm m để phương trình \({\left( {2x - 1} \right)^2} + m = \sqrt {{x^2} - x + 1} \) có nghiệm.(đs: \(m \le \dfrac{{49}}{{16}}\))

c) Tìm m để phương trình  \(3\sqrt {x - 1}  + m\sqrt {x + 1}  = 2\sqrt[4]{{{x^2} - 1}}\) có nghiệm.(đs: \(m \le \dfrac{1}{3}\)).

Bài 13:Giải hệ phương trình  

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + 2y = 5\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 2y =  - 6\\ - x + y = 2\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\2xy + x + y = 7\end{array} \right.\)

Đáp án: \(\left( {2;1} \right);\left( {1;2} \right);\left( { - 2; - 3} \right);\left( {6; - 5} \right)\)

 

d) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 32\\xy = 12\end{array} \right.\)

Đáp án: \(\left( {6;2} \right);\left( { - 6; - 2} \right)\)

e) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - xy = 3\\{x^2} + {y^2} + x + y = 8\end{array} \right.\)                                        (đs: (2;1);(1;2))

f) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} =  - 4\\{x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 4\end{array} \right.\)           (đs: (-1;-1)

g) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x = y\\{y^2} - y = x\end{array} \right.\)                               (đs: (0;0);(2;2))

h) \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 3}  + \sqrt {1 - y}  = 2\\\sqrt {y + 3}  + \sqrt {1 - x}  = 2\end{array} \right.\)(đs: (1;1);(-3;-3))

Bài 14. Tìm điều kiện tham số để các hệ sau có nghiệm.

a) \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  + \sqrt y  = 3\\x + y = 2m\end{array} \right.\)

Đáp án: \(\dfrac{{11}}{4} \le m \le 5\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  + \sqrt y  = m\\x\sqrt x  + y\sqrt y  = {m^3} - 3m\end{array} \right.\)

Đáp án: \(m \ge 2\)

---

PHẦN 4

Vectơ

Bài 1. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {JD}  = \overrightarrow 0 \)

b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh. \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \).

Bài 2. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho \(\overrightarrow {CN}  = 2\overrightarrow {NA} \). K là trung điểm của MN. Phân tích vectơ.

a) \(\overrightarrow {AK} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)

(đs \(\overrightarrow {AK}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AC} \))

b) \(\overrightarrow {KD} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) 

(đs \(\overrightarrow {KD}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \))

Bài 3. Cho \(\overrightarrow a  = \left( { - 1;0} \right);\overrightarrow b  = \left( { - 1;1} \right);\)\(\overrightarrow c  = \left( {3;4} \right)\).

a) Tìm toạ độ của vectơ \(\overrightarrow d  = 2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  + 5\overrightarrow c \).

(đs \(\overrightarrow d  = (10;23)\))

b) Tìm 2 số m, n sao cho \(m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + 2\overrightarrow d  = \overrightarrow 0 \).

(đs \(m = 66;n =  - 46\))

c) Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow a \) theo \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow c \).

(đs \(\overrightarrow a  = \dfrac{4}{7}\overrightarrow b  - \dfrac{1}{7}\overrightarrow c \))

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm \(A(0;2);B( - 4;4);C(3;0)\).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. (đs: \(G\left( { - \dfrac{1}{3};2} \right)\))

---

PHẦN 5

Tích vô hướng và ứng dụng

Bài 1. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).

a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

(đs: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 48\))

b) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC. 

(đs: Chu vi: \(15 + 5\sqrt 5 \); DT: 25)

c) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng. 

(đs:\(M\left( {0;\dfrac{{10}}{3}} \right)\))

d) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.

(đs: D(6;12))

e) Tìm toạ độ điểm I thoả \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

(đs: IPNB là hình bình hành với N là trung điểm của BC, P là trung điểm của AB).

f) Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AI} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)

(đs: \(\overrightarrow {AB}  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)).

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( { - 2;3} \right),\overrightarrow b  = \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\)

a) Tính tích vô hướng và tìm góc giữa hai vectơ\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).

(đs: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 5;\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{10\sqrt {221} }}{{\sqrt {221} }}\))

b) Tìm m để vectơ \(\overrightarrow u  = m\overrightarrow a  - \overrightarrow b \) song song với trục hoành.

(đs: \(m = \dfrac{2}{3}\))

c) Tìm n để vectơ \(\overrightarrow v  = \overrightarrow a  + 2n\overrightarrow b \) tạo với vectơ \(\overrightarrow a \) một góc \(45^\circ \).

(đs: n=0)