Đề cương lý thuyết ôn tập học kỳ II môn toán lớp 10

Phần 1

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất phương trình và hệ bất phương trình

Các phép biến đổi bất phương trình:

a) Phép cộng: Nếu f(x) xác định trên D thì P(x) < Q(x) \( \Leftrightarrow \) P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

b) Phép nhân:

* Nếu f(x) > 0, \(\forall \)x \( \in \) D thì P(x) < Q(x) \( \Leftrightarrow \) P(x).f(x) < Q(x).f(x)

* Nếu f(x) < 0, \(\forall \)x \( \in \) D thì P(x) < Q(x) \( \Leftrightarrow \) P(x).f(x) > Q(x).f(x)

c) Phép bình phương: Nếu P(x) \( \ge \)0 và Q(x) \( \ge \)0, \(\forall \)x \( \in \) D thì P(x) < Q(x) \( \Leftrightarrow \)\({P^2}(x) < {Q^2}(x)\)

2. Dấu của nhị thức bậc nhất

a) Dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b

* Chú ý: Với a > 0 ta có:

\(\left| {f(x)} \right| \le a \Leftrightarrow  - a \le f(x) \le a\)

\(\left| {f(x)} \right| \ge a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) \le  - a\\f(x) \ge a\end{array} \right.\)

3. Phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

a. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by \( \le c\) (1) (\({a^2} + {b^2}\)\( \ne 0\))

Bước 1: Trong mp Oxy, vẽ đường thẳng (\(\Delta \)): ax + by \( = c\)

Bước 2: Lấy \({M_o}({x_o};{y_o}) \notin (\Delta )\) (thường lấy \({M_o} \equiv O\))

Bước 3: Tính ax_o + by_o và so sánh ax_o + by_o và c.

Bước 4: Kết luận

Nếu ax_o + by_o < c thì nửa mp bờ (\(\Delta \)) chứa M_o là miền nghiệm của ax + by \( \le c\)

Nếu ax_o + by_o > c thì nửa mp bờ (\(\Delta \)) không chứa M_o là miền nghiệm của ax + by \( \le c\)

b. Bỏ bờ miền nghiệm của bpt (1) ta được miền nghiệm của bpt  ax + by < c. Miền nghiệm của các bpt ax + by \( \ge c\)và ax + by \( > c\)được xác định tương tự.

c. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:

Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.

Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bpt trong hệ trên cùng một mp tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bpt đã cho.

4. Dấu của tam thức bậc hai

a. Định lí về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx  + c, a\( \ne \)0, \(\Delta \)= b² – 4ac

* Nếu \(\Delta \)< 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a..f(x)>0), \(\forall \)x\( \in \)R

* Nếu \(\Delta \)= 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a..f(x)>0), \(\forall \)x\( \ne \)\(\frac{{ - b}}{{2a}}\)

* Nếu \(\Delta \)> 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x₁ hoặc x > x₂; f(x) trái dấu với hệ số a khi x₁ < x < x₂. (Với x₁, x₂ là hai nghiệm của f(x) và x₁< x₂)

Bảng xét dấu: f(x) = ax²  + bx  + c, a\( \ne \)0, \(\Delta \)= b²– 4ac > 0

b. Dấu của nghiệm số

Cho f(x) = ax² + bx + c, a\( \ne \)0

a) ax² + bx + c = 0 có nghiệm \( \Leftrightarrow \)\(\Delta \)= b²– 4ac \( \ge \)0            

b) ax² + bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow \)a.c < 0

c) ax² + bx + c = 0 có 2 nghiệm cùng dấu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\a.c > 0\end{array} \right.\)

c) ax² + bx + c = 0 có các nghiệm dương \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} > 0\\S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} > 0\end{array} \right.\)           

d) ax² +bx +c = 0 có các nghiệm âm \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} > 0\\S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} < 0\end{array} \right.\)

Chú ý: Dấu của tam thức bậc hai luôn luôn cùng dấu với hệ số a khi \(\Delta  < 0\)

i) ax² +bx +c >0, \(\forall \)x \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\)

ii) ax² +bx +c <0, \(\forall \)x \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\)                           

iii) ax² +bx +c \( \ge \)0, \(\forall \)x \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)

iv) ax² +bx +c \( \le \)0, \(\forall \)x \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)

5. Bất phương trình bậc hai

a. Định nghĩa:

Bất phương trình bậc 2 là bpt có dạng f(x) > 0 (Hoặc f(x) \( \ge \)0, f(x) < 0, f(x) \( \le \) 0), trong đó f(x) là một tam thức bậc hai. ( f(x) = ax² + bx + c, a\( \ne \)0 )

b. Cách giải:

Để giải bất pt bậc hai, ta áp dụng định lí vầ dấu tam thức bậc hai

Bước 1: Đặt vế trái bằng f(x), rồi xét dấu f(x)

Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu và chiều của bpt để kết luận nghiệm của bpt

---

Phần 2

GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

1. Các hệ thức lượng giác cơ bản

\(\begin{array}{l}1){\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\2)\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\left( {\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\\3)\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\left( {\alpha  \ne k\pi } \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}4)1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}(\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi )\\5)1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}(\alpha  \ne k\pi )\\6)\tan \alpha .\cot \alpha  = 1(\alpha  \ne \frac{{k\pi }}{2})\end{array}\)

2. Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt

\(\begin{array}{l}\sin \alpha  = \sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right)\\\cos \alpha  = \cos \left( {\alpha  + k2\pi } \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\tan \alpha  = \tan \left( {\alpha  + k\pi } \right)\\\cot \alpha  = \cot \left( {\alpha  + k\pi } \right)\end{array}\)

+) Góc đối nhau (\(\alpha \) và \( - \alpha \))

\(\cos ( - \alpha )\,\, = \,\,\cos \alpha \)

\(\sin ( - \alpha )\,\, = \,\, - \sin \alpha \)

\(\tan ( - \alpha )\,\, = \,\, - \tan \alpha \)

\(\cot ( - \alpha )\,\, = \,\, - \cot \alpha \)

+) Góc bù nhau (\(\alpha \) và \(\pi  - \alpha \))

\(\sin (\pi  - \alpha )\,\, = \,\,\sin \alpha \)

\(\cos (\pi  - \alpha )\,\, = \,\, - \cos \alpha \)

\(\tan (\pi  - \alpha )\,\, = \,\, - \tan \alpha \)

\(\cot (\pi  - \alpha )\,\, = \,\, - \cot \alpha \)

+) Góc phụ nhau(\(\alpha \) và \(\frac{\pi }{2} - \alpha \))

\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\cos \alpha \)

\(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\sin \alpha \)

\(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\cot \alpha \)

\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\tan \alpha \)

3. Công thức cộng

\(\begin{array}{l}\sin (a + b) = \sin a.\cos b + \sin b.\cos a\\\sin (a - b) = \sin a.\cos b - \sin b.\cos a\\\cos (a + b) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\\\cos (a - b) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\\\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\end{array}\)

4. Công thức nhân đôi, hạ bậc

a) Công thức nhân đôi

\(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha .\cos \alpha \)

\(\begin{array}{l}\cos 2\alpha \\ = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha \,\\ = 2{\cos ^2}\alpha  - 1\\ = \,\,1 - 2{\sin ^2}\alpha \end{array}\)

\(\tan 2\alpha \,\, = \,\,\frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\)

b) Công thức hạ bậc                                                         

\(\begin{array}{c}{\sin ^2}\alpha \,\, = \,\,\frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\\{\cos ^2}\alpha \, = \,\,\frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\\{\tan ^2}\alpha \, = \,\,\frac{{1 - \cos 2\alpha }}{{1 + \cos 2\alpha }}\end{array}\)

5. Công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) + \cos (a - b)} \right]\\\sin a\sin b =  - \frac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) - \cos (a - b)} \right]\\\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin (a + b) + \sin (a - b)} \right]\end{array}\)

6. Công thức biển đổi tổng thành tích

\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\\\cos a - \cos b =  - 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\end{array}\)      

\(\begin{array}{l}\tan a + \tan b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\cos a.\cos b}}\\\tan a - \tan b = \frac{{\sin (a - b)}}{{\cos a.\cos b}}\\\cot a + \cot b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\sin a.\sin b}}\\\cot a - \cot b = \frac{{\sin (b - a)}}{{\sin a.\sin b}}\end{array}\)

---

Phần 3

HÌNH HỌC

1. Hệ thức lượng trong tam giác

a. Các hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, trung tuyến AM = \({m_a}\), BN = \({m_b}\), CP = \({m_c}\)

Định lý cosin

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b² = a² + c² – 2ac.cosB;

c² = a² + b² – 2ab.cosC

Hệ quả:

cosA = \(\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

cosB = \(\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)         

cosC = \(\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Định lý sin

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)= 2R

(với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )

b. Độ dài đường trung tuyến của tam giác

\({m_a}^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{2({b^2} + {c^2}) - {a^2}}}{4}\);

\({m_b}^2 = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} = \frac{{2({a^2} + {c^2}) - {b^2}}}{4}\)

\({m_c}^2 = \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} = \frac{{2({b^2} + {a^2}) - {c^2}}}{4}\)

c. Các công thức tính diện tích tam giác

S = \(\frac{1}{2}\)ah_a = \(\frac{1}{2}\)bh_b  = \(\frac{1}{2}\)ch_c

S = \(\frac{1}{2}\)ab.sinC = \(\frac{1}{2}\)bc.sinA = \(\frac{1}{2}\)ac.sinB

S = \(\frac{{abc}}{{4R}}\)

S = pr

S = \(\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) với \(p = \frac{1}{2}(a + b + c) \)

2. Phương trình đường thẳng

* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tham số cần phải biết được toạ độ 1 điểm và 1 vectơ chỉ phương

* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tổng quát cần biết được toạ độ 1 điểm và 1 vectơ phát tuyến

a. Phương trình tham số của đường thẳng d

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + t{u_1}}\\{y = {y_0} + t{u_2}}\end{array}} \right.\) với M (\({x_0};{y_0}\))\(\in d\) và \(\vec u = ({u_1};{u_2})\) là vectơ chỉ phương (VTCP)

b. Phương trình tổng quát của đường thẳng d

a(x –  \({x_0}\)) + b(y –  \({y_0}\)) = 0 hay  ax + by + c = 0  

(với  c = – a\({x_0}\)–  b\({y_0}\)  và a² + b² \(\ne\) 0)  trong đó M (\({x_0};{y_0}\)) \(\in d\) và \(\vec n = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến (VTPT)

+) Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A(a; 0) và B(0; b) với \(ab\ne 0\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

+) Phương trình đường thẳng đi qua điểm M (\({x_0};{y_0}\)) có hệ số góc k  có dạng: y –  \({y_0}\)= k (x  – \({x_0}\))

c. Khoảng cách từ mội điểm M (\({x_0};{y_0}\)) đến đường thẳng d: ax + by + c = 0  được tính theo công thức:

d(M; d) = \(\frac{{\left| {a{x_0} + b{x_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

\({\Delta _1}\): \({a_1}x + {b_1}y + {c_1}\)= 0

\({\Delta _2}\): \({a_2}x + {b_2}y + {c_2}\)= 0

\({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}\);

Tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1}{\rm{ = 0}}\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2}{\rm{ = 0 }}\end{array} \right.\)

\({\Delta _1}\)//\({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\)

\({\Delta _1}\)\( \equiv \)\({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\) (với \({a_2}\),\({b_2}\),\({c_2}\)khác 0)

3. Đường tròn

a. Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R có dạng:

(x – a)² + (y – b)² = R²   (1)   

hay x² + y² – 2ax – 2by + c = 0  (2)

với c = a² + b² – R²

+) Với điều kiện  a² + b² – c > 0 thì phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R

+) Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

d cắt ( C ) \( \Leftrightarrow \) d(I; d) < R

d không có điểm chung với ( C ) \( \Leftrightarrow \) d(I; d) > R

d tiếp xúc với ( C ) \( \Leftrightarrow \) d(I; d) = R

b. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn

Dạng 1: Điểm A thuộc đường tròn

Dạng 2: Điểm A không thuộc đường tròn

Dạng 3: Biết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc hay song song với 1 đường thẳng nào đó

4. Phương trình Elip

a. Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm F₁(-c; 0), F₂(c; 0) và một số a (a > c > 0, a = const).

Elip (E) là tập hợp các điểm M: F₁M + F₂M = 2a. Hay (E) =\(\{ M/{F_1}M + {F_2}M = 2a\} \)

b. Phương trình chính tắc của elip (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a² = b² + c²)

c. Các thành phần của elip (E) là:

Hai tiêu điểm: F₁(-c; 0), F₂(c; 0)

Bốn đỉnh: A₁(-a; 0), A₂(a; 0), B₁(0;-b), B₂(0;b)

Độ dài trục lớn: A₁A₂ = 2a

Độ dài trục nhỏ: B₁B₂ = 2b    

Tiêu cự F₁F₂ = 2c

d. Hình dạng của elip (E)

+) (E) có 2 trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc tọa độ

+) Mọi điểm của (E) ngoại trừ 4 đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = \( \pm \)a, y = \( \pm \)b

Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.