Đề cương ôn tập phần bài tập học kì 2 toán 9

Đại số

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Bài 1: Cho hai biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{x - 3\sqrt x  + 4}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\) với x > 0, \(x \ne 4\).

1) Tính giá trị của A khi x = 9.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Cho \(P = \frac{B}{A}\). Tìm x để \(\left| P \right| + P = 0\).

Bài 2: Cho biểu thức:

\(A  = \left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\left( {\frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}} \right)\)

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi \(x = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } \)

c) Tìm giá trị của x để A > -6.

Bài 3: Cho hai biểu thức:

\(A = \frac{2}{{\sqrt x  - 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}} - \frac{{4\sqrt x  + 2}}{{x\sqrt x  - 2x + \sqrt x  - 2}}\)

(\(x \ge 0;\,x \ne 4\))

1. Tính giá trị biểu thức A khi x = 1.

2. Cho P = A + B chứng minh rằng \(P = \frac{{3\sqrt x }}{{x + 1}}\)

3. Tìm điều kiện của m để phương trình P = m có nghiệm.

Bài 4: Cho biểu thức:

\(B  = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{x - 4}} + \frac{2}{{2 - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}} \right):\left( {\sqrt x  - 2 + \frac{{10 - x}}{{\sqrt x  + 2}}} \right)\)

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị của A khi \(x = \sqrt {7 + 4\sqrt 3 } \)

c) Tìm giá trị của x để A > 0.

Bài 5: Cho biểu thức:

\(C  = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{3}{{x\sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{x - \sqrt x  + 1}}\)

a) Rút gọn biểu thức C.

b) Tính giá trị của A khi \(x = \sqrt {11 - 6\sqrt 2 } \)

c) Tìm giá trị của x để C < 1.

Dạng 2: Giải phương trình và hệ phương trình

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 2}\\{2x - 3y = 1}\end{array}} \right.\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x - 2y = 1}\\{3x + y = 6}\end{array}} \right.\)

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 5}\\{2x + 2y = 20}\end{array}} \right.\)

d) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x - 2y =  - 2}\\{ - 5x + y = 1}\end{array}} \right.\)

\(e)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - y = 4}\\{2x + y = 6}\end{array}} \right.\)

f) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y = 6}\\{7x - 3y =  - 3}\end{array}} \right.\)

Bài 2: Giải các phương trình sau

a/  3x² - 5x = 0             b/  2x² – 3x –2 = 0

c/  -2x² + 8 = 0            d/  x⁴ - 4x² - 5 = 0

e/  x⁴- 8 x²- 48 =  0    f/  2x⁴ - 5x² + 2 = 0

g/  x² + x –2 = 0           h/  3x⁴ - 12x² + 9 = 0

i/  16x² +8x + 1= 0      

Bài 3: Giải phương trình :( x\(^2\)- 2x + 3 ) ( 2x - x\(^2\)+6 ) =18.

Dạng 3: Bài toán về hàm số y = ax²(\(a \ne 0\)).

Bài 1:

a/ Vẽ parabol (P): y = \(\frac{1}{2}{x^2}\)  và đường thẳng (d) : y =\(\frac{3}{2}x - 1\)  trên cùng mp  toạ độ

b/ Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán.

Bài 2:

a/ vẽ đồ thị của hàm số ( P)  y = x² và (d) y =  - x +2 trên cùng một hệ trục toạ độ.

b/ Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d).

 Bài 3:

Cho hai hàm số y = x²  và y =  – 2x + 3.

a) Vẽ các đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.

 Bài 4:

a) Xác định hệ số a của hàm số y = ax², biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;-1)

b) Vẽ đồ thị của hàm số đó

 Bài 5:

a) Vẽ đồ thị của hàm số y =  (P)

b) Cho đường thẳng (d) có pt: y = x + m. Tìm m trong các trường hợp sau:

+) (d) cắt ( P) tại hai điểm phân biệt

+) ( d) tiếp xúc với ( P)

+) (d) không tiếp xúc với (P)

Bài 6:

Cho hàm số y = – 2x² có đồ thị (P).

1. Vẽ (P) trên một hệ trục tọa độ vuông góc.

2. Gọi A(\( - \frac{2}{3}; - 7\)) và B(2; 1).

a.Viết phương trình đường thẳng AB.

b. Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P).

3.Tìm điểm trên (P) có tổng hoành độ và tung độ của nó bằng – 6.

Bài 7: Cho hàm số y = \( - \frac{3}{2}\)x² có đồ thị (P) và y = – 2x  + \(\frac{1}{2}\) có đồ thị (D).

1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.

2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).

3. Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành độ và tung độ của điểm đó bằng – 4.

Bài 8: Cho hàm số y = \(\frac{2}{3}\)x² có đồ thị (P) và y = x  + \(\frac{5}{3}\) có đồ thị (D).

1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.

2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).

Bài 9: Cho hai hàm số y = x² có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (D).

a. Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.

b. Gọi A là điểm thuộc (D) có hoành độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) có hoành độ bằng  – 2. Xác định tọa độ của A, B.

c. Tìm tọa độ của điểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất.

Bài 10: Cho hàm số y = – x² có đồ thị (P) và y = x – 2 có đồ thị (D).

a.Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phương pháp đại số.

b. Gọi A là một điểm thuộc (D) có tung độ bằng 1 và B là một điểm thuộc (P) có hoành độ bằng – 1. Xác định tọa độ của A và B.

c. Tìm tọa độ của điểm M thuộc trục hoành sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Dạng 4: Bài toán về hệ phương trình và phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1: Cho phương trình bậc hai x² – (m – 3)x – 2m = 0 (1).

1. Giải phương trình (1) khi m = – 2.

2. CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁, x₂ không phụ thuộc vào m.

Bài 2: Cho phương trình bậc hai x² – (m + 1)x + m = 0 (1).

1. Giải phương trình (1) khi m = 3.

2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.

3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁, x₂ không phụ thuộc vào m.

Bài 3 : Cho phương trình 2x² + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số)   (1)

1. Giải phương trình (1) khi m = 2.

2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.

3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x₁, x₂ độc lập với m.

Bài 4 : Cho phương trình x² – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số)   (1)

1. Giải phương trình (1) khi m = 5.

2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.

3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x₁, x₂ độc lập với m.

4. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.

Bài 5 : Cho phương trình bậc hai x² –2(m – 1)x + m² = 0 (1).

1.Tìm m để:

Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Pt (1) có một nghiệm là – 2.

2. Giả sử x₁, x₂ là 2 nghiệm của pt (1). CMR: (x₁ – x₂)² + 4(x₁ + x₂) + 4 = 0.

Bài 6 :Cho phương trình bậc hai x² –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1).

1. Giải phương trình (1) khi m = –2.

2. CMR: \(\forall m\), phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

3. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của pt (1). Chứng minh biểu thức:

A = x₁(1 – x₂) + x₂(1 – x₁) không phụ thuộc vào m.

Bài 7: Cho phương trình bậc hai x² –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1). 

1. Giải phương trình (1) khi m = – 2.

2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

3. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của (1). Tính A = \(x_1^2\, + x_2^2\,\)theo m.

4. Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 8: Cho phương trình bậc hai x² – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1). 

1. Giải phương trình (1) khi m = –1.

2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

3. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.

4. Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc và m.

5. Tìm m để \(x_1^2\, + x_2^2\,\)= 10.

Bài 9: Cho phương trình: x² – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0  (m là tham số)    (1).

a. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó.

b. Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x₁, x₂ mà không phụ thuộc m.

Bài 10: 

Cho hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}mx\,\, - \,2\,y\,\,\, = \,\,m\\ - 2x\,\, + \,\,y\,\,\, = \,\,m\, + \,\,1\end{array} \right.\)   

( m là tham số) (I).

a. Khi m = – 2, giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng.

b. Tính giá trị của tham số m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất và tính nghiệm duy nhất đó theo m. 

Bài 11:

Cho hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l} - \,2mx\,\, + \,\,y\,\,\, = \,\,5\\\,\,mx\,\, + \,\,3y = \,\,1\end{array} \right.\)    (1)

1. Giải hệ (1) khi m =  1.

2. Xác định giá trị của m để hệ (1):

a. Có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó theo m.

b. Có nghiệm (x, y) thỏa: x – y = 2.

Bài 12:

Cho hệ phương trình  \(\left\{ \begin{array}{l}x\,\,\, + \,\,y\,\, = \,\,\,k\, + \,2\,\,\\2x\, + \,\,4y\,\, = \,\,9\, - \,k\,\end{array} \right.\)     (1)

1. Giải hệ (1) khi k = 1.

2. Tìm giá trị của k để hệ (1) có nghiệm là x = – 8 và y = 7.

3. Tìm nghiệm của hệ (1) theo k.

Dạng 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình – lập phương trình.

Bài 1: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.

Bài 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. Tìm hai số đó.

Bài 3: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.

Bài 4: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi là 280m. Nếu giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích của nó tăng thêm 144m². Tính các kích thước của hình chữ nhật.

Bài 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 320m. Nếu chiều dài của khu vườn tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích của nó tăng thêm 50m². Tính diện tích của khu vườn ban đầu.

Bài 6: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 110cm². Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm². Tình hai cạnh góc vuông của tam giác.

Bài 7: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không  có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được \(\frac{3}{4}\) bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì mới đầy bể?

Bài 8: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu để vòi thứ nhất chảy một mình trong 10 phút và vòi thứ hai chảy một mình trong 12 phút  thì chỉ được \(\frac{2}{{15}}\) thể tích của bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?

Bài 9: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa có nước thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới chảy đầy bể?

Bài 10:   Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 110 km. Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 2 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 44 phút. Tính vận tốc mỗi xe.

Bài 11: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 90 km. Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút. Tính vận tốc mỗi xe.

Bài 12: khoảng cách giữa 2 bến sông A và B là 30km. Một ca nô đi từ A đến B, nghỉ 40 phút ở B, rồi lại trở về A. thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về A là 6giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước là 3km/h.

Dạng 6: Một số bài toán thực tế

Bài 1:  Một thuyền đánh cá chuẩn bị 10 thùng dầu để ra khơi, mỗi thùng là một hình trụ có đường kính đáy là 0,6m, chiều cao là 1,5m. Hỏi thuyền đó đã chuẩn bị bao nhiêu lít dầu? (Bỏ qua độ dày của vỏ thùng lấy \(\pi  \approx \)3,14).

Bài 2. Một bồn chứa nước hình trụ có đường kính đáy là 1,2m và có chiều cao là 1,5m. Tính thể tích của bồn chứa nước đó? (kết quả làm tròn đến 2 chữ số phần thập phân).

Bài 3: An đứng trên mặt đất cách chân tòa nhà 25 mét. An ngước nhìn lên đỉnh tòa nhà, tia nhìn tạo với mặt đất góc 72^o. Tính chiều cao của tòa nhà biết vị trí mắt của An cách mặt đất là 1 mét. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Bài 4: Một vật rơi tự do từ độ cao 80 m so với mặt đất Quãng đường chuyển động s (mét) của vật rơi phụ thuộc vào thời gian rơi t (giây) bởi công thức: s = 5t².

a) Hỏi sau 3 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét ?

b) Sau bao lâu thì vật tiếp đất ?

Bài 5: Bạn Linh mua một lọ thủy tinh hình trụ có đường kính đáy là 10cm và chiều cao là 20cm để nuôi cả kiếng. Tính thể tích nước bạn Linh đổ vào lọ biết rằng mực nước cách miệng lọ 5 cm và \(\pi  \approx \)3,14 (Thể tích hình trụ: V = \(\pi .{R^2}.h\) với R là bán kính đáy, là chiều cao).

Bài 6: Giá bán một ti vi hiệu Sam Sung được giảm hai lần như sau : lần 1 giảm 5%, lần 2 giảm thêm 3%. Sau hai lần giảm giá thì giá bán của ti vi là 13 822 500 đồng. Hỏi giá bán ban đầu của ti vi là bao nhiêu tiền?

Bài 7: Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau lớn hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, bánh xe sau có đường kính 1,76m và bánh xe trước có đường kính là 88cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 20 vòng thi bánh xe trước lăn được mấy vòng?

Dạng 7: Một số bài toán nâng cao

Bài 1: Cho a; b; c là các số dương thỏa mãn \(\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} \ge 2.\) Chứng minh \(abc \le \frac{1}{8}\).

Bài 2: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 6.

Chứng minh bất đẳng thức sau: \(\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + {a^2}}} \ge 3\).

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1.

Tìm GTLN của biểu thức: \(P = \frac{{ab}}{{{a^4} + {b^4} + ab}} + \frac{{bc}}{{{b^4} + {c^4} + bc}} + \frac{{ac}}{{{c^4} + {a^4} + ca}} + 2020\).

Bài 4: Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn \(abc \le 1\). Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm.

---

Hình học

Bài 1: Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Các phân giác của các góc\(\widehat {ABC},\,\,\widehat {ACB}\) lần lượt cắt đường tròn tại E, F.

  a) CMR: OF \( \bot \) AB và OE \( \bot \) AC.

  b) Gọi M là giao điểm của của OF và AB; N là giao điểm của OE và AC. CMR: Tứ giác AMON nội tiếp và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác này.

  c) Gọi I là giao điểm của BE và CF; D là điểm đối xứng của I qua BC. CMR: ID \( \bot \) MN.

Bài 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh BC và N là điểm trên cạnh CD sao cho BM = CN. Các đoạn thằng AM và BN cắt nhau tại H.

a. CMR: Các tứ giác AHND và MHNC là những tứ giác nội tiếp.

b. Khi BM =\(\frac{a}{4}\). Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a.

Bài 3: Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD và BK cắt nhau tại H và lần lượt cắt (O) tại M và N.

a. CMR: Tứ giác CDHK nội tiếp.

b. CMR: CM = CN

c. CM: \(\Delta CDK\)đồng dạng \(\Delta CAB\)

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên nội tiếp đtròn (O). Tiếp tuyến tại B và C của đtròn lần lượt cắt tia AC và tia AB ở D và E. CMR:

  a) BD² = AD.CD

  b) Tứ giác BCDE nội tiếp.

  c) BC // DE.

Bài 5: Cho \(\Delta ABC\)có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Hai đường cao AH và BK cắt nhau tại E.

 a) Chứng minh: tứ giác AKHB nội tiếp

 b) Chứng minh: tứ giác KEHC nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

 c) Kéo dài AH cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh BC là đường trung trực của EM.

Bài 6: Cho \(\Delta ABC\) vuông ở A với\(\widehat C = {20^O}\). Trên AC lấy điểm M, vẽ đường tròn tâm O đường kính CM. Tia BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. Đường thẳng qua A và D cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:

 a) Tứ giácABCD nội tiếp.

 b) CA là tia phân giác của góc SCB.

 c) Tìm quỹ tích điểm D khi M di chuyển trên cạnh AC.

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M nằm trên AC, đường tròn đường kính CM cắt BC tại E, BM cắt đường tròn tại D

 a) CMR: tứ giác BADC nội tiếp.

 b) DB là phân giác của góc EDA.

 c) CMR 3 đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.

Bài 8: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn (S không nằm trên: đường thẳng AB; tiếp tuyến tại A; tiếp tuyến tại B). Cát tuyến SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại hai điểm M, E. Gọi D là giao điểm của BM và AE.

   a) Chứng minh: 4 điểm S, M, D, E cùng nằm trên một đưòng tròn.

   b) Chứng minh: \(\Delta SME\) đồng dạng \(\Delta SBA\).

   c) Chứng minh: SD \( \bot \) AB.

Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn (các tiếp tuyến Ax, By và nửa đường tròn cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB) . Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D.

1. CMR:

a) Tứ  giác AOMC nội tiếp.

b) CD = CA + DB và \(\widehat {COD}\) = 90⁰.

c) AC. BD = R².

2. Khi \(\widehat {BAM}\) = 60⁰. Chứng tỏ \(\Delta \,BDM\) là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt tròn chắn cung MB của nửa đường tròn đã cho theo R.

Bài 10: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên 2 cạnh BC và CD sao cho \(\widehat {MAN} = {45^0}\). AM và AN cắt đường chéo BD tại P và Q. Gọi H là giao điểm của MQ và NP. CMR:

  a) Tứ giác ABMQ nội tiếp.

  b)  Tam giác AQM vuông cân.

  c) AH vuông góc với MN.

Bài 11: Cho đường tròn  (O; R)và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn với OA = 3R. qua A vẽ hai tíêp tuyến AB, AC đế đường tròn ( O) ( B, C là hai tiếp điểm)

a. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp

b. Kẻ đường kính CD của (O). Chứng minh BD // OA

c. Kẻ dây BN của (O) song song với AC,AN cắt (O) ở M. chứng minh MC²= MA. MB

d. Gọi F là giao điểm của BN với CD. Tính theo R diện tích của tam giác BCF

Bài 12: Từ một điểm T nằm bên ngoài đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến TA, TB với đường tròn đó. Biết góc AOB = 120⁰ và dây BC = 2R.

a. Chứng minh OT // AC.

 b. Biết tia OT cắt đường tròn ( O, R) tại D. chứng minh tứ giác AOBD là hình thoi.

Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm, AC = 8cm. Vẽ đường cao AH, đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB tại E và cắt AC tại điểm F.

a. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp.

c. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI vuông góc với EF.

d. Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC. Tính diện tích hình tròn tâm K.

Bài 14: Cho tam giác ABC nhọn, đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D, CE cắt BD tại H.

a. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.

b. AH cắt BC tại F chứng minh FA là tia phân giác của góc DFE.

c. EF cắt đường tròn tại K (K khác E). chứng minh DK// AF.

d. Cho biết góc BCD = 45⁰ , BC = 4 cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 15: cho đường tròn ( O) và điểm A ở ngoài (O)sao cho OA = 3R. vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B và C là hai tiếp tuyến ).

a. Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp.

b. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại D ( khác B). đường thẳng AD cắt ( O) tại E. chứng minh AB² = AE. AD.

c. Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEA.

d. Tính diện tích tam giác BDC theo R.

Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB > AC, nội tiếp đường tròn tâm (O,R), hai đường cao AH, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp? Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

b) Tia BH cắt AC tại E, chứng minh HE.HB= HF.HC

c) Vẽ đường kính AK của (O), chứng minh AK vuông góc với EF.

d) Trường hợp góc KBC = 45⁰, BC = R\(\sqrt 3 \), tính diện tích tam giác AHK theo R.

Bài 16: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Ba đương cao AE, BF, CK cắt nhau tại H. Tia AE, BF cắt đường tròn tâm O lần lượt tại I và J.

a. Chứng minh tứ giác AKHF nội tiếp đường tròn.

b. Chứng minh hai cung CI và CJ bằng nhau.

c. Chứng minh hai tam giác AFK và ABC đồng dạng với nhau.