Câu 8 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường tròn \((C_1),(C_2)\) lần lượt có phương trình:

\(\eqalign{
& \left( {{C_1}} \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 5y + 1 = 0 \cr 
& \left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2} + 10y - 5 = 0 \cr} \)

Viết phương trình ảnh của mỗi đường tròn trên qua phép đối xứng có trục Oy

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\eqalign{
& {x^2} + {y^2} - 4x + 5y + 1 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + {5 \over 2}} \right)^2} = {{37} \over 4} \cr} \)

\((C_1)\) có tâm \({I_1}\left( {2; - {5 \over 2}} \right)\) và bán kính \({R_1} = {{\sqrt {37} } \over 2}\)

Gọi \(I'_1\) là ảnh của \(I_1\) qua phép đối xứng có trục Oy thì \(I{'_1}\left( { - 2; - {5 \over 2}} \right)\)

Vậy phương trình ảnh \((C'_1)\) của \((C_1)\) qua phép đối xứng trục Oy là:

\(\eqalign{
& {\left( {x + 2} \right)^2} + \left( {y + {5 \over 2}} \right) = {{37} \over 4} \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4x + 5y + 1 = 0 \cr} \)

Lại có:

\(\begin{array}{l}
\left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2} + 10y - 5 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 30
\end{array}\)

\((C_2)\) có tâm \({I_2}\left( {0;-5} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {30}\)

Gọi \(I'_2\) là ảnh của \(I_2\) qua phép đối xứng có trục Oy thì \(I{'_2}\left( { 0; - 5} \right)\) trùng với \(I_2\).

Vậy phương trình ảnh \((C'_2)\) của \((C_2)\) qua phép đối xứng trục Oy là chính \(\left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2} + 10y - 5 = 0\).