Câu 52, 53, 54, 55, 56, 57 trang 125 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 52

Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai :

a. Tồn tại một cấp số nhân (u_n) có u₅ < 0 và u₇₅ > 0

b. Nếu các số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai khác 0 thì các số \({a^2},{b^2},{c^2}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.

c. Nếu các số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số \({a^2},{b^2},{c^2}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân.

Lời giải chi tiết:

a. Sai vì  \({{{u_{75}}} \over {{u_5}}} = {q^{70}} > 0\)

b. Sai chẳng hạn 1, 2, 3 là cấp số cộng nhưng 1, 4, 9 không là cấp số cộng.

c. Đúng vì nếu a, b, c, là cấp số nhân công bội q thì các số \({a^2},{b^2},{c^2}\) là cấp số nhân công bội q²_.

Câu 53

Cho dãy số (u_n) xác định bởi : \({u_1} = {1 \over 2}\text{ và }u_n={u_{n - 1}} + 2n\) với mọi n ≥ 2.

Khi đó u₅₀ bằng :

A. 1274,5

B. 2548,5

C. 5096,5

D. 2550,5

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {u_n} - {u_{n - 1}} = 2n \cr 
& \Rightarrow {u_{50}} = \left( {{u_{50}} - {u_{49}}} \right) + \left( {{u_{49}} - {u_{48}}} \right) + ... + \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + {u_1} \cr 
& = 2\left( {50 + 49 + ... + 2} \right) + {1 \over 2} \cr 
& = 2.{{49.52} \over 2} + 0,5= 2548,5 \cr} \)

Chọn B

Câu 54

Cho dãy số (u_n) xác định bởi \({u_1} = - 1\text{ và }{u_n} = 2n.{u_{n - 1}}\) với mọi n ≥ 2.

Khi đó u₁₁ bằng :

A. 2¹⁰.11!

B. -2¹⁰.11!

C. 2¹⁰.11¹⁰

D. -2¹⁰.11¹⁰

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {{{u_n}} \over {{u_{n - 1}}}} = 2n \cr 
& \Rightarrow {u_{11}} = {{{u_{11}}} \over {{u_{10}}}}.{{{u_{10}}} \over {{u_9}}}...{{{u_2}} \over {{u_1}}}.{u_1} \cr 
& = \left( {2.11} \right)\left( {2.10} \right)...\left( {2.2} \right).\left( { - 1} \right) \cr 
& = - {2^{10}}.11! \cr} \)

Chọn B

Câu 55

Cho dãy số (u_n) xác định bởi : \({u_1} = 150\,\text{ và }\,{u_n} = {u_{n - 1}} - 3\) với mọi n ≥ 2.

Khi đó tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số đó bằng

A. 150

B. 300

C. 29850

D. 59700

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({u_n}-{\rm{ }}{u_{n - 1}} = {\rm{ }} - 3\)

⇒ (u_n) là cấp số cộng công sai \(d = -3\)

\(\eqalign{
& {S_{100}} = {{100\left( {2{u_1} + 99d} \right)} \over 2} \cr 
& = 50\left( {300 - 297} \right) = 150 \cr} \)

Chọn A

Câu 56

Cho cấp số cộng (u_n) có : u₂ = 2001 và u₅ = 1995.

Khi đó u₁₀₀₁ bằng

A. 4005

B. 4003

C. 3

D. 1

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{u_1} + 4d = 1995} \cr {{u_1} + d = 2001} \cr} } \right. \Rightarrow \left\{ {\matrix{{d = - 2} \cr {{u_1} = 2003} \cr} } \right. \cr & \Rightarrow {u_{1001}} = {u_1} + 1000d = 2003 - 2000 = 3 \cr} \)

Chọn C

Câu 57

Cho cấp số nhân (u_n) có u₂ = -2 và u₅ = 54.

Khi đó tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng

A.  \({{1 - {3^{1000}}} \over 4}\)

B.  \({{{3^{1000}} - 1} \over 2}\)

C. \({{{3^{1000}} - 1} \over 6}\)

D.  \({{1 - {3^{1000}}} \over 6}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {u_5} = {u_1}{q^4},{u_2} = {u_1}q \cr 
& \Rightarrow {q^3} = {{54} \over { - 2}} = - 27 \Rightarrow q = - 3,{u_1} = {2 \over 3} \cr 
& \Rightarrow {S_{1000}} = {u_1}.{{1 - {q^{1000}}} \over {1 - q}} = {2 \over 3}.{{1 - {3^{1000}}} \over 4} = {{1 - {3^{1000}}} \over 6} \cr} \)

Chọn D