Câu 34 trang 118 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng \(a\sqrt 2 \)

a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABCD).

b. Gọi E và F lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD ; K là điểm bất kì thuộc đường thẳng AD. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK không phụ thuộc vào K, hãy tính khoảng cách đó theo a.

Lời giải chi tiết

a. Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).

Khi đó \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Xét các tam giác SHA, SHB, SHC, SHD có:

\(\widehat {SHA} = \widehat {SHB} = \widehat {SHC} = \widehat {SHD} = {90^0}\) (vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Chung SH

Nên \(\Delta SHA = \Delta SHB = \Delta SHC = \Delta SHD\) (2 cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow HA = HB = HC = HD\)

\( \Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

\( \Rightarrow H\) là giao điểm của AC và BD.

Ta có:

\(\eqalign{  & S{H^2} = S{A^2} - A{H^2} \cr&= S{A^2} - {\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)^2}= S{A^2} - {{A{C^2}} \over 4} \cr&= 2{a^2} - {{A{B^2} + B{C^2}} \over 4}  \cr  &  = 2{a^2} - {{4{a^2} + {a^2}} \over 4} = {{3{a^2}} \over 4}\cr&\Rightarrow SH = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr} \)

Cách khác:

b. Vì EF // AD nên EF // mp(SAD), mặt khác SK nằm trong mp(SAD) nên khoảng cách giữa EF và SK chính là khoảng cách giữa EF và mp(SAD), đó cũng chính là khoảng cách từ H đến mp(SAD).

Vậy khoảng cách giữa EF và SK không phụ thuộc vào vị trí của điểm K trên đường thẳng AD.

Tính d(EF ; SK) :

Gọi I là trung điểm của AD

\( \Rightarrow HI \bot AD\)

Mà \(AD \bot SH\) (do \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Nên \(AD \bot \left( {SHI} \right)\).

Kẻ đường cao HJ của tam giác vuông SHI thì

\(\left\{ \begin{array}{l}
HJ \bot SI\\
HJ \bot AD\left( {AD \bot \left( {SHI} \right)} \right)
\end{array} \right.\)\( \Rightarrow HJ \bot \left( {SAD} \right)\)

Do đó d(H; (SAD)) = HJ.

Ta có: HJ.SI = SH.HI

\(S{I^2} = S{A^2} - A{I^2} = 2{a^2} - {{{a^2}} \over 4} = {{7{a^2}} \over 4}\)

Từ đó \(HJ = {{SH.HI} \over {SI}} = {{{{a\sqrt 3 } \over 2}.a} \over {{{a\sqrt 7 } \over 2}}} = {{a\sqrt {21} } \over 7}\)

Như vậy, khoảng cách giữa EF và SK không phụ thuộc vào vị trí của điểm K trên đường thẳng AD và bằng \({{a\sqrt {21} } \over 7}\)