Câu 30 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O') có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường tròn (O") thay đổi, luôn luôn tiếp xúc ngoài với (O) và (O') lần lượt tại B và C . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Kéo dài BC cắt (O’) tại B’

Vì C là tâm vị tự trong của (O’) và (O”) nên hai vecto \(\overrightarrow {O'B'} \) và \(\overrightarrow {O''B} \) ngược hướng

Vì B là tâm vị tự trong của (O) và (O”) nên hai vecto \(\overrightarrow {O''B} \) và \(\overrightarrow {OB} \) ngược hướng

Vậy hai vecto \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {O'B'} \) cùng hướng

(cùng ngược hướng với \(\overrightarrow {O''B} \))

Từ đó suy ra đường thẳng BB’, cũng chính là đường thẳng BC, luôn đi qua điểm cố định là tâm vị tự ngoài I của (O) và (O’)

Cách 2:

Kéo dài BC cắt (O') tại B', cắt OO' tại I. Ta chứng minh I là điểm cố định.

Ta có: \( \angle OBI =\angle O''BC \) (hai góc đối đỉnh)

         \( \angle O''BC = \angle O''CB \) ( tam giác O''BC cân tại O'')

         \( \angle O''CB =\angle O'CB' \) (hai góc đối đỉnh)

         \( \angle O'CB' = \angle O'B'C = \angle O'B'I \)

\(\Rightarrow \angle OBI= \angle O'B'I\). Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.

\(\Rightarrow OB // O'B' \Rightarrow {{IO} \over{IO'}}= {OB \over O'B'}\) cố định

Do đó I là tâm vị tự biến O thành O' tỉ số \({OB \over O'B'}\)

Vậy BC luôn đi qua điểm I cố định