Câu 3 trang 60 SGK Vật Lý 12 Nâng cao

Đề bài

Dùng công thức lượng giác (tổng của hai cosin) tìm tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số góc \(\omega \), cùng biên độ A và có độ lệch pha \(\Delta \varphi \). Đối chiếu với kết quả nhận được bằng phương pháp sử dụng giản đồ Fre - nen.

Lời giải chi tiết

Tổng của hai dao động của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số góc \(\omega \), cùng biên độ A và có độ lệch pha \(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1}.\)

\(\eqalign{
& {x_1} = A\cos (\omega t + {\varphi _1});{x_2} = A\cos (\omega t + {\varphi _2}). \cr 
& \Rightarrow x = {x_1} + {x_2} = A\cos (\omega t + {\varphi _1}) + A\cos (\omega t + {\varphi _2}). \cr 
& = A\left[ {\cos (\omega t + {\varphi _1}) + \cos (\omega t + {\varphi _2})} \right]. \cr 
& = 2A\cos {{\omega t + {\varphi _1} + \omega t + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{\omega t + {\varphi _1} - \omega t - {\varphi _2}} \over 2} \cr 
& = 2A\cos {{2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{{\varphi _1} - {\varphi _2}} \over 2} \cr 
& x = 2A\cos {{\Delta \varphi } \over 2}\cos \left( {\omega t + {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}} \right). \cr} \)

   +)  Biên độ của dao động tổng hợp là \(2A\cos {{\Delta \varphi } \over 2}\)

   +)   Pha ban đầu của dao động tổng hợp : \(\varphi = {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}\)

* Nếu dùng phương pháp giản đồ Fre-nen thì :

\(\eqalign{
& {A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) \cr 
& = {A^2} + {A^2} + 2{A^2}\cos \Delta \varphi = 2{A^2}(1 + \cos \Delta \varphi ) \cr 
& = 2{A^2}.2{\cos ^2}{{\Delta \varphi } \over 2} = 4{A^2}{\cos ^2}{{\Delta \varphi } \over 2}. \cr 
& \Rightarrow A = 2A\cos {{\Delta \varphi } \over 2}. \cr 
& \tan \varphi = {{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}} \over {{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}} = {{A\sin {\varphi _1} + A\sin {\varphi _2}} \over {A\cos {\varphi _1} + A\cos {\varphi _2}}} \cr 
& {{\sin {\varphi _1} + \sin {\varphi _2}} \over {\cos {\varphi _1} + \cos {\varphi _2}}} = {{2\sin {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{{\varphi _1} - {\varphi _2}} \over 2}} \over {2\cos {{\varphi _1^{} + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{{\varphi _1} - {\varphi _2}} \over 2}}}\ = \tan {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2} \cr 
& \Rightarrow \varphi = {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}. \cr} \)