Câu 20 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Trên tia Ox lấy các điểm A₁, A₂, …, A_n, … sao cho với mỗi số nguyên dương n, OA_n = n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính OA_n, n = 1, 2, … . Kí hiệu u₁ là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA₁ và với mỗi n ≥ 2, kí hiệu u_n là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OA_{n – 1} , nửa đường tròn đường kính OA_n và tia Ox (h 3.3). Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.

Lời giải chi tiết

Với \(n ≥ 2\) ta có :

Diện tích nửa đường tròn đường kính \(OA_n\) là: \({S_n} = \frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{{O{A_n}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{8}\pi {n^2}\)

Diện tích nửa đường tròn đường kính \(OA_{n-1}\) là: \({S_{n-1}} = \frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{{O{A_{n-1}}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{8}\pi {(n-1)^2}\)

Do đó,

\(\eqalign{
& {u_n} ={S_n} - {S_{n-1}}\cr& = \frac{1}{8}\pi {n^2} - \frac{1}{8}\pi {\left( {n - 1} \right)^2} \cr 
& = {1 \over 8}\pi \left[ {\left( {{n^2} - {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right)} \right] \cr 
& = \frac{1}{8}\pi \left( {{n^2} - {n^2} + 2n - 1} \right)\cr&= {{\left( {2n - 1} \right)\pi } \over 8}\,\left( {n \ge 2} \right) \cr 
& \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {{2n + 1} \over 8}\pi - {{\left( {2n - 1} \right)} \over 8}\pi \cr&= {\pi \over 4},\forall n \ge 2 \cr} \)

Mặt khác

\({u_2} - {u_1} = {{3\pi } \over 8} - {\pi \over 8} = {\pi \over 4}\)

Vậy  \({u_{n + 1}} - {u_n} = {\pi \over 4}\;\forall n \in\mathbb N^*\)

Do đó (u_n) là cấp số cộng với công sai  \(d = {\pi \over 4}.\)