Câu 2 Đề III trang 133 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3; -1) và B(-2; 1; 3).

LG a

Chứng tỏ rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox.

Lời giải chi tiết:

Ta có Ox đi qua O(0, 0, 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = \left( {1,0,0} \right).\)

\( \Rightarrow d\left( {A;Ox} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { 3} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \sqrt {10} .\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow d\left( {B;Ox} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} \cr&= {{\sqrt {{0^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \sqrt {10} . \cr 
& \Rightarrow d\left( {A;Ox} \right) = d\left( {B;Ox} \right). \cr} \)

Vậy A và B cách đều trục Ox.

LG b

Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C.

Lời giải chi tiết:

Điểm \(C \in Oz\) nên \(C\left( {0,0,c} \right)\). 
Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1,3,c + 1} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {2, - 1,c - 3} \right).\)
Tam giác ABC vuông tại C nên

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = 0 \cr&\Leftrightarrow - 2 - 3 + \left( {c + 1} \right)\left( {c - 3} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 5 + {c^2} - 2c - 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {c^2} - 2c - 8 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 4 \hfill \cr 
c = - 2 \hfill \cr} \right.. \cr} \)

Vậy có 2 điểm C thỏa mãn đề bài là \(C\left( {0,0,4} \right)\) hoặc \(C\left( {0,0, - 2} \right).\)

LG c

Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mp(Oyz).

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu của A trên mp(Oyz) là \(A'\left( {0, - 3, - 1} \right)\) và hình chiếu của B trên mp(Oyz) là \(B'\left( {0,1,3} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {A'B'}  = \left( {0,4,4} \right) = 4\left( {0,1,1} \right).\)

Suy ra hình chiếu d’ của AB trên mp(Oyz) là đường thẳng đi qua A’ và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {0,1,1} \right)\) và 1 vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d’ là: 

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = - 3 + t \hfill \cr 
z = - 1 + t \hfill \cr} \right..\)

LG d

Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp(Oxy).

Lời giải chi tiết:

Gọi I là tâm của mặt cầu. Vì \(I \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {a,b,0} \right).\)
Khi đó phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by + d = 0.\)
Vì O, A, B thuộc mặt cầu nên tọa độ của O, A, B thỏa mãn phương tình mặt cầu.
Từ đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
d = 0 \hfill \cr 
1 + 9 + 1 - 2a + 6b + d = 0 \hfill \cr 
4 + 1 + 9 + 4a - 2b + d = 0 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
d = 0 \hfill \cr 
- 2a + 6b = - 11 \hfill \cr 
4a - 2b = - 14 \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = {{ - 53} \over {10}} \hfill \cr 
b = - {{18} \over 5} \hfill \cr 
d = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là: 

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + {{53} \over 5}x + {{36} \over 5}y = 0\)

\(\Leftrightarrow 5{x^2} + 5{y^2} + 5{z^2} + 53x + 36y = 0.\)