Câu 19 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

a. Chứng minh rằng SG ⊥ (ABC). Tính SG.

b. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm C₁ nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P).

Lời giải chi tiết

a. Vì SA = SB = SC nên S nằm trên trục của đường thẳng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mà tam giác ABC đều có G là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

=> G đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: GA = GB = GC

Do đó, G nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

=> SG ⊥ (ABC). Gọi I là trung điểm của BC.

Tam giác ABC đều có AI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:AI ⊥ BC

Tam giác SBC có SB = SC nên là tam giác cân tại S có SI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: BC ⊥ SI

\(\eqalign{  & SI = \sqrt {S{C^2} - I{C^2}}  = \sqrt {{b^2} - {{{a^2}} \over 4}} \cr &={ \sqrt {{4{b^2} - {a^2}} }\over 2}   \cr  & GI = {1 \over 3}AI = {1 \over 3}.a{{\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 6} \cr} \)

Trong tam giác vuông SGI ta có :

\(SG = \sqrt {S{I^2} - G{I^2}}  = \sqrt {{{4{b^2} - {a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over {12}}} \) \( = \sqrt {{{12{b^2} - 4{a^2}} \over {12}}}\) \(  = \sqrt {{{3{b^2} - {a^2}} \over 3}} \)

b. Kẻ AC₁ ⊥ SC thì (P) chính là mp(ABC₁)

Vì SAC là tam giác cân mà AC₁ ⊥ SC nên C₁ nằm giữa S và C khi và chỉ khi

\(\widehat {ASC} < 90^\circ  \Leftrightarrow A{S^2} + C{S^2} > A{C^2} \) \(\Leftrightarrow 2{b^2} > {a^2}\)

Ta có : AB ⊥ GC và AB ⊥ SG ⇒ AB ⊥ SC

SC ⊥ AC₁ và SC ⊥ AB nên SC ⊥ (ABC₁)

Thể tích tứ diện SABC là :

\(\eqalign{  & {V_{SABC}} = {1 \over 3}SG.{S_{ABC}} = {1 \over 3}SC.{S_{AB{C_1}}}  \cr  &  \Rightarrow {S_{AB{C_1}}} = {{SG.{S_{ABC}}} \over {SC}} \cr &= {{\sqrt {{{3{b^2} - {a^2}} \over 3}} .{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}} \over b} = {{{a^2}\sqrt {3{b^2} - {a^2}} } \over {4b}} \cr} \)