Câu 1 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :

\(1 + 2 + 3 + ... + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}\)   (1)

Lời giải chi tiết

+) Với n = 1 ta có \(1 = {{1\left( {1 + 1} \right)} \over 2}\) (đúng).

Vậy (1) đúng với n = 1

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có:

\(1 + 2 + 3 + ... + k = {{k\left( {k + 1} \right)} \over 2}\)

Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\) tức là phải chứng minh :

\(1 + 2 + ... + k + \left( {k + 1} \right) = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}\)

Thật vậy ta có :

\(\eqalign{
& 1 + 2 + ... + k + \left( {k + 1} \right) \cr 
& = {{k\left( {k + 1} \right)} \over 2} + \left( {k + 1} \right) \cr 
& = {{k\left( {k + 1} \right) + 2\left( {k + 1} \right)} \over 2} \cr 
& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2} \cr} \)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi n nguyên dương.