Bài tập trắc nghiệm khách quan chương III

Trong mỗi bài tập dưới đây, hãy chọn một phương án trong các phương án cho để được khẳng định đúng.

Bài 60

Giả sử \(\int\limits_1^5 {{{dx} \over {2x - 1}}}  = \ln c\). Giá trị của c là
(A) \(9\);             (B) \(3\);                 (C) \(81\);                   (D) \(8\).

Giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \int\limits_1^5 {{{dx} \over {2x - 1}}} = {1 \over 2}\ln \left| {2x - 1} \right||_1^5 = \ln 3 \cr 
& \ln c = \ln 3 \Rightarrow c = 3 \cr} \)

Chọn (B).

Bài 61

Giá trị của \(\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}dx} \) là

\(\left( A \right)\,{e^4}\);                \(\left( B \right)\,{e^4} - 1;\)

\(\left( C \right)\,4{e^4};\)                \(\left( D \right)\,3{e^4} - 1;\)

Giải chi tiết:

\(\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}dx}  = {e^{2x}}|_0^2 = {e^4} - 1\)

Chọn (B).

Bài 62

Giá trị của \(\int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}dx} \) là:

\(\left( A \right)\, - {7 \over {10}};\)                 \(\left( B \right)\, - {6 \over {10}};\)

\(\left( C \right)\,{2 \over {15}};\)                       \(\left( D \right)\,{1 \over {60}}.\)

Giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}\left( {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1} \right)dx} \cr 
& = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + {x^2}} \right)dx} = \left( {{{{x^6}} \over 6} + {{3{x^5}} \over 5} + {{3{x^4}} \over 4} + {{{x^3}} \over 3}} \right)|_{ - 1}^0 = {1 \over {60}} \cr} \)

Chọn (D).

Bài 63

Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi đường thẳng \(y = 4x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) là:

(A) \(4\);             (B) \(5\);                 (C) \(3\);                       (D) \(3,5\).

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

\(\left\{ \matrix{
{x^3} = 4x \hfill \cr 
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Diện tích cần tìm là: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^3}} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {\left( {4x - {x^3}} \right)dx}  = \left( {2x^2 - {{{x^4}} \over 4}} \right)|_0^2 = 4\)

Chọn (A).

Bài 64

Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bới hai đường thẳng \(y = 8x, y = x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) là:

(A) \(12\);             (B) \(15,75\);            (C) \(6,75\);             (D) \(4\)

Giải chi tiết:

\(\eqalign{
& {x^3} = 8x \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 2\sqrt 2 \hfill \cr 
x = - 2\sqrt 2 \,\left( \text {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr 
& {x^3} = x \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 1 \hfill \cr 
x = - 1\,\left( \text {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

\(\eqalign{
& S =\int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\left( {8x - {x^3}} \right)} dx-\int\limits_0^1 {\left( {x - x^3} \right)} dx \cr 
& \,\,\,\, = \left( {4{x^2} - {{{x^4}} \over 4}} \right)|_0^{2\sqrt 2 } -\left({1 \over 2}{x^2}-{1 \over 4}{x^4}\right)|_0^1 = \left( {32 - 16} \right) - \left( {{1 \over 2} - {1 \over 4}} \right) = 16 - {1 \over 4} = 15,75 \cr} \)

Chọn (B).

Bài 65

Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi đường thẳng \(y=2x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) là:

\(\left( A \right)\,{4 \over 3};\)              \(\left( B \right)\,{3 \over 2};\)

\(\left( C \right)\,{5 \over 3};\)                 \(\left( D \right)\,{{23} \over {15}}.\)

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm: 

\(2x = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 2 \hfill \cr} \right.\)

\(S = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx}  = \left( {{x^2} - {{{x^3}} \over 3}} \right)|_0^2 = {4 \over 3}\)

Chọn (A)

Bài 66

Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đồ thị hàm hai số \(y = {x^2}\) và \(y = 6 - \left| x \right|\). Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A xung quanh trục tung:

\(\left( A \right)\,{{32\pi } \over 3};\)               \(\left( B \right)\,9\pi ;\)

\(\left( C \right)\,8\pi \,;\)                \(\left( D \right)\,{{20\pi } \over 3}.\)

Giải chi tiết:

\(y = 6 - \left| x \right| = \left\{ \matrix{
6 - x\,\,\text{ nếu }\,\,x \ge 0 \hfill \cr 
6 + x\,\,\,\text{ nếu }\,\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.\)

Giao điểm của (P) với đường thẳng \(y=6-x\) ( với \(x \ge 0\)) là:

\(\left\{ \matrix{
{x^2} = 6 - x \hfill \cr 
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2\,\left( {y = 4} \right)\)

\(\eqalign{
& V = {\int\limits_0^4 {\pi \left( {\sqrt y } \right)} ^2}dy + \int\limits_4^6 {\pi {{\left( {6 - y} \right)}^2}dy} = \pi \int\limits_0^4 {ydy} + \pi \int\limits_4^6 {{{\left( {y - 6} \right)}^2}dy} \cr 
& \,\,\,\,\, = \pi {{{y^2}} \over 2}|_0^4 + \pi {1 \over 3}{\left( {y - 6} \right)^3}|_4^6 = 8\pi + {{8\pi } \over 3} = {{32\pi } \over 3} \cr} \)

Chọn (A)

Bài 67

Cho \(a,b\) là hai số dương. Gọi \(K\) là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai được giới hạn bởi parabol \(y = a{x^2}\) và đường thẳng \(y=-bx\). Biết rằng thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay \(K\) xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc vào giá trị của \(a\) và \(b\). Khi đó \(a\) và \(b\) thỏa mãn điều kiện sau:

\(\left( A \right)\,{b^4} = 2{a^5}\,;\)                     \(\left( B \right)\,{b^3} = 2{a^5}\,;\)

\(\left( C \right)\,{b^5} = 2{a^3}\,;\)                         \(\left( D \right)\,{b^4} = 2{a^2}.\)

Giải chi tiết:

\(a{x^2} = - bx \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = - {b \over a} \hfill \cr} \right.\)

\(V = \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {{{\left( { - bx} \right)}^2}} dx - \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {{{\left( {a{x^2}} \right)}^2}dx} \)

\(= \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {\left( {{b^2}{x^2} - {a^2}{x^4}} \right)} dx =\pi \left( {{{{b^2}{x^3}} \over 3} - {{{a^2}{x^5}} \over 5}} \right)\mathop |\nolimits_{ - {b \over a}}^0 \)

\(=  - \pi \left( {{{ - {b^5}} \over {3{a^3}}} + {{{b^5}} \over {5{a^3}}}} \right) = {{2\pi {b^5}} \over {15{a^3}}}\)

Vì \({{{b^5}} \over {{a^3}}}\) là hằng số nên ta phải chọn (C).

Khi đó \(V = {{4\pi } \over {15}}.\)