Bài 95 trang 105 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Các đường cao hạ từ \(A\) và \(B\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\) (góc \(C\) khác \(90^0\)) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\). Chứng minh rằng:

a) \(CD = CE\) ;     b) \(ΔBHD\) cân ;     c) \(CD = CH\). 

Lời giải chi tiết

a) Gọi K là giao điểm của BC và AD

Gọi I là giao điểm của BE và AC 

Cách 1:

Ta có: \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}B}\) (1) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))

\(\widehat {DBC} + \widehat {ADB} = {90^0}\) (2) (do tam giác BDK vuông tại K)

\(\widehat {AEB} + \widehat {CAE} = {90^0}\) (3) (do tam giác AIE vuông tại I)

 Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{E}}}\) (cùng phụ với hai góc bằng nhau)

Có \(\widehat {CBD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

\(\widehat {EAC}\) là góc nội tiếp chắn cung CE 

⇒ \(sđ\overparen{CD}\)= \(sđ\overparen{CE}\)

Suy ra \(CD = CE\)

Cách 2:

Vì \(BC \bot AD\) nên \(\widehat{AKB}=90^0\)

Lại có \(\widehat{AKB}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CD nên

\(\widehat{AKC}=\dfrac{sđ\overparen {DC}+sđ \overparen {BA}}{2}=90^0\)

Suy ra \(sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CD}=180^0\) (1) 

Vì \(BE \bot AC\) nên \(\widehat{AIB}=90^0\)

Lại có \(\widehat{AIB}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CE nên

\(\widehat{AIB}=\dfrac{sđ\overparen {CE}+sđ \overparen {AB}}{2}=90^0\)

Suy ra \(sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CE}=180^0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(sđ \overparen {CE}=sđ \overparen {CD}\)

Suy ra \( \overparen {CE}=\overparen {CD}\), do đó \(CE=CD.\)

b) Ta có \(\widehat {EBC}\) và \(\widehat {CB{\rm{D}}}\) là góc nội tiếp trong đường tròn \(O\) nên :

 \(\widehat {EBC} = {1 \over 2} sđ\overparen{CE}\) và \(\widehat {CB{\rm{D}}} = {1 \over 2}sđ\overparen{CD}\) 

Mà \(sđ\overparen{CD}\)= \(sđ\overparen{CE}\)

nên \(\widehat {EBC} = \widehat {CB{\rm{D}}}\) suy ra BK là phân giác góc HBD.

Lại có BK vuông góc với HD (giả thiết H là trực tâm của tam giác ABC). Suy ra BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác HBD nên  \(∆BHD\) cân tại \(B\)

c) Vì \(∆BHD\) cân và \(BK\) là đường cao cũng là đường trung trực của \(HD\). Điểm \(C\) nằm trên đường trung trực của \(HD\) nên \(CH = CD\)