Bài 16 trang 54 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(R\) và chiều cao \(R\sqrt 3 \).

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ.

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng \({30^0}\). Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.

Lời giải chi tiết

a) Diện tích xung quanh của hình trụ

\({S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3  = 2\sqrt 3 \pi {R^2}\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\pi {R^2} \) \(= 2\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\pi {R^2}\)
b) Thể tích của khối trụ \(V = \pi {R^2}.R\sqrt 3  = \sqrt 3 \pi {R^3}\).

c) Gọi \(O\) và \(O’\) là tâm của hai đường tròn đáy.

Kẻ \(AA’ // OO’\) (A’ nằm trên đáy dưới hình trụ)

Ta có: \(O'A' = R\,\,,\,\,AA' = R\sqrt 3 \) và \(\widehat {BAA'} = {30^0}\).

Vì \(OO’ // (ABA’)\) nên khoảng cách giữa \(OO’\) và \(AB\) bằng khoảng cách giữa \(OO’\) và \((ABA’)\).

Kẻ \(OH \bot A'B\) thì \(H\) là trung điểm của \(A’B\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) và \(O'H \bot \left( {ABA'} \right)\).

Trong tam giác vuông \(AA’B\) ta có:

\(\tan {30^0} = {{A'B} \over {AA'}} \)

\(\Rightarrow A'B = AA'.\tan{30^0} \) \(= R\sqrt 3 .{1 \over {\sqrt 3 }} = R\)

Vậy tam giác \(BA’O’\) là tam giác đều cạnh \(R\) nên \(O'H = {{R\sqrt 3 } \over 2}\).