Bài 11 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết

a) CMR "Phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó"

Giả sử \({V_{(O,k)}}\) là phép vị tự tâm O tỉ số \(k\) biến đường thẳng \(a\) thành đường thẳng \(a’\).

Lấy \(M,N \in a\) và \({V_{(O,k)}}\left( M \right) = M';\) \({V_{(O,k)}}\left( N \right) = N'\) thì \(M',N' \in a'\).

Ta có :

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \\
\overrightarrow {ON'} = k\overrightarrow {ON} \\
\Rightarrow \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {ON} - k\overrightarrow {OM} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} = k\left( {\overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} } \right)\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN}
\end{array}\)

\(  \Rightarrow \overrightarrow {MN} \) cùng phương với \(\overrightarrow {M'N'} \)

+) Nếu k=1 và O ∈ a thì \(\overrightarrow {OM'}  = \overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON'}  = \overrightarrow {ON} \) nên M trùng M', N trùng N' hay a trùng a'.

+) Nếu \(k\ne 1\) và O ∉ a thì M'N'//MN nên a'//a.

Do đó hai đường thẳng \(a\) và \(a’\) song song hoặc trùng nhau.
b) CMR "Phép vị tự biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó"

Giả sử phép vị tự \({V_{(O,k)}}\) biến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) thành mp \(\left( {\alpha '} \right)\).

- Nếu O ∈ (α) thì V_(O,k) biến A ∈(α) thành A’ sao cho \(\overrightarrow {OA'}  = k\overrightarrow {OA} \).

=> A'∈ OA hay A' ∈ mp(α) suy ra mp(α') = mp(α).

- Nếu k =1 thì V_(O,1)(A) = A’ hay \(\overrightarrow {OA'}  = \overrightarrow {OA} \) ⇒ A ≡ A'

Vậy qua V_(0,k) biến mp (α) thành mp(α') = mp(α).

- Nếu O ∈ mp(α) và k ≠ 1. Trên mp(α) lấy hai đường thẳng a, b cắt nhau tại I.

Qua phép vị tự tâm O tỉ số k :

+ Biến hai đường thẳng a, b thành 2 đường thẳng a’, b’ song song hoặc trùng với a,b

+ Biến giao điểm I thành điểm I’ là giao điểm của hai đường thẳng a’ và b’.

+ Biến mp (α) thành mp(α’) chứa hai đường thẳng a’và b’.

Suy ra, mp(α) // mp (α’).