Bài 26 trang 24 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng nếu \(G\) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(ABC\) và tam giác \(A'B'C'\) thì

\(3\overrightarrow {G{G'}}  = \overrightarrow {A{A'}}  + \overrightarrow {B{B'}}  + \overrightarrow {C{C'}} .\)

Từ đó hãy suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) có trọng tâm trùng nhau.

Lời giải chi tiết

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Vì \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) nên 

\(\overrightarrow {{G'}A'}  + \overrightarrow {{G'}B'}  + \overrightarrow {{G'}C'}  = \overrightarrow 0 \)

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}} = \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {G{G'}} + \overrightarrow {{G'}{A'}} } \right) + \left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {G{G'}} + \overrightarrow {{G'}{B'}} } \right) + \left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {G{G'}} + \overrightarrow {{G'}{C'}} } \right) \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\overrightarrow {G{G'}} + \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {{G'}{A'}} + \overrightarrow {{G'}{B'}} + \overrightarrow {{G'}{C'}} } \right) \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\overrightarrow {G{G'}} . \cr} \)

Vậy điều kiện cần và đủ để hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) có trọng tâm trùng nhau là 

\(\overrightarrow {A{A'}}  + \overrightarrow {B{B'}}  + \overrightarrow {C{C'}}  = \overrightarrow 0 \)