Toán logic là gì? Hệ thống toán logic

Toán logic xuất hiện vào giữa thế kỷ 19 như là một lĩnh vực của toán học, phản ánh sự hợp lưu của hai truyền thống: logic triết học chính thống và toán học. Trước khi xuất hiện, logic đã được nghiên cứu với các biện pháp tu từ, với các tính toán, thông qua tam đoạn luận và với triết học. Nửa đầu thế kỷ 20 chứng kiến ​​sự bùng nổ của các kết quả cơ bản, kèm theo cuộc tranh luận mạnh mẽ về nền tảng của toán học. Các bạn hãy đọc bài viết dưới đây để hiểu hơn toán logic là gì nhé!

Toán logic là gì?

Toán logic là một lĩnh vực của toán học khám phá các ứng dụng của logic hình thức vào toán học. Nó có mối liên hệ chặt chẽ với siêu dữ liệu, nền tảng của toán học và khoa học máy tính lý thuyết. Các chủ đề thống nhất trong logic toán học bao gồm nghiên cứu về sức mạnh biểu cảm của các hệ thống chính thức và sức mạnh suy diễn của các hệ thống chứng minh chính thức.

Logic toán học thường được chia thành các lĩnh vực của lý thuyết tập hợp, lý thuyết mô hình, lý thuyết đệ quy và lý thuyết chứng minh. Những lĩnh vực này chia sẻ kết quả cơ bản về logic, đặc biệt là logic thứ nhất và tính xác định.

Kể từ khi ra đời, toán logic vừa góp phần, vừa được thúc đẩy bởi việc nghiên cứu nền tảng của toán học. Nghiên cứu này bắt đầu vào cuối thế kỷ 19 với sự phát triển của các khung tiên đề cho hình học, số học và phân tích. Vào đầu thế kỷ 20 nó được hình thành bởi David Hilbert ‘s chương trình để chứng minh sự phù hợp của các lý thuyết căn bản. Kết quả của Kurt Gödel, Gerhard Gentzenvà những người khác đã cung cấp giải pháp một phần cho chương trình và làm rõ các vấn đề liên quan đến việc chứng minh tính nhất quán. Làm việc trong lý thuyết tập hợp cho thấy hầu hết tất cả các toán học thông thường đều có thể được chính thức hóa theo các tập hợp, mặc dù có một số định lý không thể được chứng minh trong các hệ tiên đề chung cho lý thuyết tập hợp. Công việc đương đại trong các nền tảng của toán học thường tập trung vào việc thiết lập phần nào của toán học có thể được chính thức hóa trong các hệ thống chính thức cụ thể (như trong toán học ngược) thay vì cố gắng tìm ra các lý thuyết trong đó tất cả toán học có thể được phát triển.

Hệ thống toán logic

Toán logic liên quan đến các khái niệm toán học được thể hiện bằng cách sử dụng các hệ thống logic chính thức. Các hệ thống này, mặc dù chúng khác nhau về nhiều chi tiết, chia sẻ thuộc tính chung là chỉ xem xét các biểu thức trong một ngôn ngữ chính thức cố định. Các hệ thống logic mệnh đề và logic thứ nhất được nghiên cứu rộng rãi nhất hiện nay, bởi vì khả năng ứng dụng của chúng vào nền tảng của toán học và vì các đặc tính lý thuyết chứng minh mong muốn của chúng. Các logic cổ điển mạnh hơn như logic bậc hai hoặc logic vô định cũng được nghiên cứu, cùng với các logic phi phân loại như logic trực giác.

Logic thứ nhất

Logic thứ nhất là một hệ thống logic chính thức đặc biệt. Cú pháp của nó chỉ liên quan đến các biểu thức hữu hạn như các công thức được hình thành tốt , trong khi ngữ nghĩa của nó được đặc trưng bởi sự giới hạn của tất cả các bộ lượng hóa đối với một miền diễn ngôn cố định.

Logic cổ điển khác

Nhiều logic ngoài logic thứ nhất được nghiên cứu. Chúng bao gồm các logic vô hạn, cho phép các công thức cung cấp một lượng thông tin vô hạn và các logic thứ tự cao hơn, bao gồm một phần của lý thuyết tập hợp trực tiếp trong ngữ nghĩa của chúng.

Logic phi phân loại và phương thức

Logic phương thức bao gồm các toán tử phương thức bổ sung, chẳng hạn như toán tử nói rằng một công thức cụ thể không chỉ đúng mà còn nhất thiết đúng. Mặc dù logic phương thức không thường được sử dụng để tiên đề toán học, nhưng nó đã được sử dụng để nghiên cứu các tính chất của chứng minh bậc nhất (Solovay 1976) và lý thuyết tập hợp (Hamkins và Löwe 2007).

Logic trực giác được Heyting phát triển để nghiên cứu chương trình trực giác của Brouwer, trong đó bản thân Brouwer tránh chính thức hóa. Logic trực giác đặc biệt không bao gồm luật trung gian bị loại trừ, trong đó tuyên bố rằng mỗi câu là đúng hoặc phủ định của nó là đúng. Công trình của Kleene với lý thuyết bằng chứng về logic trực giác cho thấy thông tin mang tính xây dựng có thể được phục hồi từ các bằng chứng trực giác. Ví dụ, bất kỳ hàm tổng có thể chứng minh nào trong số học trực giác đều có thể tính toán được; điều này không đúng trong các lý thuyết cổ điển về số học như số học Peano.

Logic đại số

Logic đại số sử dụng các phương pháp của đại số trừu tượng để nghiên cứu ngữ nghĩa của logic học chính thức. Một ví dụ cơ bản là việc sử dụng đại số Boolean để biểu diễn các giá trị chân lý trong logic mệnh đề cổ điển và sử dụng đại số Heyting để biểu diễn các giá trị chân lý trong logic mệnh đề trực giác. Logic mạnh hơn, chẳng hạn như logic thứ nhất và logic bậc cao hơn, được nghiên cứu bằng cách sử dụng các cấu trúc đại số phức tạp hơn như đại số hình trụ.

Toán logic đã được áp dụng thành công không chỉ cho toán học và nền tảng của nó mà còn đến vật lý, đến sinh học, đến tâm lý học, theo luật pháp và đạo đức, đến kinh tế học, cho những câu hỏi thực tế và thậm chí là siêu hình học. Các ứng dụng của nó vào lịch sử logic đã được chứng minh là vô cùng hiệu quả.

Mời bạn đọc cùng tham khảo thêm tại mục hỏi đáp thắc mắc trong mục tài liệu nhé.