Bài 94 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

\(\eqalign{
{\log _3}\left( {\log _{0,5}^2x - 3{{\log }_{0,5}}x + 5} \right) = 2\,; \cr} \)

Lời giải chi tiết:

ĐK:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\log _{0,5}^2x - 3{\log _{0,5}}x + 5 > 0\\
x > 0
\end{array} \right.\)

Khi đó,

\(\eqalign{
& {\log _3}\left( {\log _{0,5}^2x - 3{{\log }_{0,5}}x + 5} \right) = 2 \cr&\Leftrightarrow \log _{0,5}^2x - 3{\log _{0,5}}x + 5 = 9 \cr 
& \Leftrightarrow \log _{0,5}^2x - 3{\log _{0,5}x} - 4 = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _{0,5}x} = - 1 \hfill \cr 
{\log _{0,5}x} = 4 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\left( {0,5} \right)^{ - 1}} = 2 \hfill \cr 
x = {\left( {0,5} \right)^4} = {1 \over {16}} \hfill \cr} \right. (TM)\cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {2;{1 \over {16}}} \right\}\)

LG b

\(\eqalign{
{\log _2}\left( {{{4.3}^x} - 6} \right) - {\log _2}\left( {{9^x} - 6} \right) = 1\,; \cr } \)

Lời giải chi tiết:

ĐK:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{4.3^x} - 6 > 0\\
{9^x} - 6 > 0
\end{array} \right.\)

Ta có: \({\log _2}\left( {{{4.3}^x} - 6} \right) - {\log _2}\left( {{9^x} - 6} \right) = 1 \)

\(\Leftrightarrow {\log _2}\left( {{{4.3}^x} - 6} \right) = 1+{\log _2}\left( {{9^x} - 6} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\log _2}\left( {{{4.3}^x} - 6} \right) = {\log _2}2 + {\log _2}\left( {{9^x} - 6} \right)\\
\Leftrightarrow {\log _2}\left( {{{4.3}^x} - 6} \right) = {\log _2}\left[ {2\left( {{9^x} - 6} \right)} \right]\\
\Leftrightarrow {4.3^x} - 6 = 2\left( {{9^x} - 6} \right)\\
\Leftrightarrow {2.9^x} - {4.3^x} - 6 = 0\\
\Leftrightarrow 2.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {4.3^x} - 6 = 0
\end{array}\)

Đặt \(t = {3^x}>0\) ta được phương trình:

\(2{t^2} - 4t - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow t = 3 \)(TM) hoặc \(t=-1\) (loại)

\(\Leftrightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy \(S = \left\{ 1 \right\}\)

LG c

\(\eqalign{
1 - {1 \over 2}\log \left( {2x - 1} \right) = {1 \over 2}\log \left( {x - 9} \right)\,; \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x >9\)

\(\eqalign{
& 1 - {1 \over 2}\log \left( {2x - 1} \right) = {1 \over 2}\log \left( {x - 9} \right) \cr&\Leftrightarrow 2 = \log \left( {2x - 1} \right) + \log \left( {x - 9} \right) \cr 
& \Leftrightarrow \log [\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 9} \right)] = 2 \cr&\Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {x - 9} \right) = 100 \cr 
& \Leftrightarrow 2{x^2} - 19x - 91 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 13 \hfill \cr 
x = - 3,5\,\,\left( \text {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(x=13\)

LG d

\(\eqalign{
{1 \over 6}{\log _2}\left( {x - 2} \right) - {1 \over 3} = {\log _{{1 \over 8}}}\sqrt {3x - 5} . \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 2\)

Ta có: \({\log _{{1 \over 8}}}\sqrt {3x - 5}  = {\log _{{2^{ - 3}}}}{\left( {3x - 5} \right)^{{1 \over 2}}} \)

\( =  - \frac{1}{3}{\log _2}{\left( {3x - 5} \right)^{\frac{1}{2}}}=  - {1 \over 6}{\log _2}\left( {3x - 5} \right)\)

Phương trình đã có trở thành:

\(\frac{1}{6}{\log _2}\left( {x - 2} \right) - \frac{1}{3} =  - \frac{1}{6}{\log _2}\left( {3x - 5} \right)  \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {1 \over 6}{\log _2}\left( {x - 2} \right) + {1 \over 6}{\log _2}\left( {3x - 5} \right) = {1 \over 3} \cr 
& \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 2} \right) + {\log _2}\left( {3x - 5} \right) = 2\cr& \Leftrightarrow {\log _2}[\left( {x - 2} \right)\left( {3x - 5} \right)] = 2 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {3x - 5} \right) = 4 \cr 
& \Leftrightarrow 3{x^2} - 11x + 10 = 4 \Leftrightarrow 3{x^2} - 11x + 6 = 0\cr&\Leftrightarrow x = 3\,\,\text{ hoặc }\,\,x = {2 \over 3}. \cr} \)

Với điều kiện \(x > 2\) ta chỉ nhận nghiệm \(x = 3\).

Vậy \(S = \left\{ 3 \right\}\)