Bài 60 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số: \(f\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x\) và \(g\left( x \right) = {{3x} \over {x + 2}}\) tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung tại điểm đó.

Lời giải chi tiết

Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = g\left( x \right)\\
f'\left( x \right) = g'\left( x \right)
\end{array} \right.\)

\(\eqalign{
\Leftrightarrow  & \left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}} \hfill \cr 
{\left( {{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x} \right)'} = {\left( {{{3x} \over {x + 2}}} \right)'} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}}\,(1) \hfill \cr 
x + {3 \over 2} = {6 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\,(2) \hfill \cr} \right. \cr } \)

\(\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 3x}}{2} = \frac{{3x}}{{x + 2}}\\
\Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 3x}}{2} - \frac{{3x}}{{x + 2}} = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {x + 2} \right) - 6x}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = 0\\
\Rightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {x + 2} \right) - 6x = 0\\
\Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 2{x^2} + 6x - 6x = 0\\
\Leftrightarrow {x^3} + 5{x^2} = 0\\
\Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 0\\
x + 5 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 5
\end{array} \right.\left( {TM} \right)
\end{array}\)

Thay x=0 và x=-5 vào (2) ta được:

+) \(x=0\) thì \(VT=0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = \frac{6}{{{{\left( {0 + 2} \right)}^2}}}=VP\) nên x=0 thỏa mãn (2)

Do đó x=0 là nghiệm của hệ.
+) \(x =-5\) thì \(VT =  - 5 + \frac{3}{2} =  - \frac{7}{2} \ne \frac{6}{{{{\left( { - 5 + 2} \right)}^2}}} = VP\) nên x=-5 không thỏa mãn (2)

Vậy hệ có \(1\) nghiệm duy nhất \(x = 0\) suy ra y=0.

Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gôc tọa độ \(O\); \(y'\left( 0 \right) = {3 \over 2}\).

Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm gốc là \(y = {3 \over 2}x.\)

Cách khác:

Các em có thể giải trực tiếp hệ trên mà không cần thay như sau: