Bài 47 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hàm số f liên tục trên \(\left[ {a;b} \right].\) Tỉ số : \({1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\) được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên \(\left[ {a;b} \right]\) và được kí hiệu là \(m\left( f \right)\). Chứng minh rằng tồn tại điểm \(c \in \left[ {a;b} \right]\) sao cho \(m\left( f \right) = f\left( c \right)\)

Lời giải chi tiết

Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số f trên \(\left[ {a;b} \right]\).

Ta có \(m \le f\left( x \right) \le M\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\)
Theo kết quả: \(f(x)\ge g(x)\) trên đoạn \([a;b]\) thì \(\int\limits_a^b {f(x)} dx \ge \int\limits_a^b {g(x)dx} \)

Ta có:

\(\eqalign{
& \int\limits_a^b {mdx \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \le \int\limits_a^b {Mdx}\cr &\Rightarrow m\left( {b - a} \right) \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \le M\left( {b - a} \right)} \cr 
& \Rightarrow m \le {1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx \le M \cr} \)

Vì \(f\) là hàm liên tục nên tồn tại \(c \in \left[ {a;b} \right]\) để \(m\le f(c)\le M\) hay \(f\left( c \right) = {1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx.\)

Cách khác:

Ta có: \(m\left( f \right) = \dfrac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x)

=> F’(x) = f(x) =>F(x) liên tục trên [a; b] có đạo hàm trên (a; b) và thỏa mãn:

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

\( \Rightarrow m\left( f \right) = \dfrac{1}{{b - a}}.\left( {F\left( b \right) - F\left( a \right)} \right)\) \( = \dfrac{{F\left( b \right) - F\left( a \right)}}{{b - a}}\)

Theo định lý Lagrăng thì ∃c ∈(a;b) sao cho

\(\dfrac{{F\left( b \right) - F\left( a \right)}}{{b - a}} = F'\left( c \right)\)

Vì F' (c)=f(c) => ∃c ∈(a;b) để m(f) = f(c) (đpcm)