Bài 2.47 trang 124 SBT giải tích 12

Giải các phương trình mũ sau:

LG a

\(\displaystyle {2^{x + 4}} + {2^{x + 2}} = {5^{x + 1}} + {3.5^x}\)

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về phương trình mũ cơ bản \(\displaystyle {a^{f\left( x \right)}} = m \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}m\).

Giải chi tiết:

\(\displaystyle {16.2^x} + {4.2^x} = {5.5^x} + {3.5^x}\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow {20.2^x} = {8.5^x}\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^1} \Leftrightarrow x = 1\)

LG b

\(\displaystyle {5^{2x}} - {7^x} - {5^{2x}}.17 + {7^x}.17 = 0\)

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về phương trình mũ cơ bản \(\displaystyle {a^{f\left( x \right)}} = m \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}m\).

Giải chi tiết:

\(\displaystyle {16.7^x} - {16.5^{2x}} = 0 \Leftrightarrow {7^x} = {5^{2x}}\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow {\left( {\frac{7}{{25}}} \right)^x} = {\left( {\frac{7}{{25}}} \right)^0} \Leftrightarrow x = 0\)

LG c

\(\displaystyle {4.9^x} + {12^x} - {3.16^x} = 0\)

Phương pháp giải:

Chia cả hai vế cho \(\displaystyle {12^x}\) biến đổi phương trình về bậc hai với ẩn là \(\displaystyle {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x}\).

Giải chi tiết:

Chia hai vế cho \(\displaystyle {12^x}({12^x} > 0)\), ta được: \(\displaystyle 4{\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} + 1 - 3{\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = 0\)

Đặt  \(\displaystyle t = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} > 0\), ta có phương trình: \(\displaystyle 4t + 1 - \frac{3}{t} = 0\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow 4{t^2} + t - 3 = 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\left( {KTM} \right)\\t = \frac{3}{4}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Do đó \(\displaystyle {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^1} \Leftrightarrow x = 1\) .

Vậy \(\displaystyle x = 1\).

LG d

\(\displaystyle  - {8^x} + {2.4^x} + {2^x} - 2 = 0\)

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(\displaystyle t = {2^x}\) đưa phương trình về ẩn \(\displaystyle t\).

Giải phương trình và kết luận nghiệm.

Giải chi tiết:

Đặt \(\displaystyle t = {2^x}(t > 0)\) , ta có phương trình:

\(\displaystyle  - {t^3} + 2{t^2} + t - 2 = 0\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow (t - 1)(t + 1)(2 - t) = 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {TM} \right)\\t =  - 1\left( {KTM} \right)\\t = 2\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Do đó \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1\\{2^x} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(\displaystyle x = 1\), \(\displaystyle x = 0\).