Bài 22 trang 23 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Tìm giá trị của \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2} + mx - 1} \over {x - 1}}\) có cực đại và cực tiểu.

Lời giải chi tiết

TXĐ: \(D = {\mathbb{R}}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(f'\left( x \right) = {{({x^2} + mx - 1)'.(x-1) -({x^2} + mx - 1).(x-1)'}\over {(x-1)^2}} ={{\left( {2x + m} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + mx - 1} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \) \(= {{{x^2} - 2x + 1 - m} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow g(x)= {x^2} - 2x + 1 - m = 0 ( x\ne 1) (1)\)

Hàm số \(f\) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\), tức là

\(\left\{ \matrix{
\Delta '_{ (1)} > 0 \hfill \cr 
g(1) \ne 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\Delta ' = 1-(1-m) > 0 \hfill \cr 
{1^2} - 2.1 + 1 - m \ne 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
m \ne 0
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow m > 0\) .

Vậy \(m>0\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) có cực đại và cực tiểu.