Bài 15 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao

Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:

LG a

Đi qua ba điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\,\,;\,\,N\left( {1; - 2;3} \right)\,\,;\,\,P\left( {0;1;2} \right)\);

Phương pháp giải:

MP đi qua 3 điểm M, N, P thì đi qua M và có VTPT cùng phương với véc tơ \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1; - 2;4} \right),\)\(\overrightarrow {MP}  = \left( { - 2;1;3} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 10; - 5; - 5} \right) \)\(=  - 5\left( {2;1;1} \right)\).

Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là \(\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)\).

Mp(MNP) đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình là:

\(2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0\)

LG b

Đi qua hai điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right)\,\,;\,\,B\left( {5;2;1} \right)\) và song song với trục Oz ;

Phương pháp giải:

MP đi qua hai điểm A,B và song song Oz thì có VTPT cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right]\)

Lời giải chi tiết:

Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) vuông góc vói \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1;2} \right)\) và vuông góc với \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) nên:

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr 
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( {1; - 4;0} \right)\)

(P) qua \(A\left( {1;1; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 4;0} \right)\) nên (P) có phương trình:

\(1\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\)

Cách khác:

Vì mặt phẳng cần tìm song song với Oz nếu có phương trình dạng Ax + By + D = 0, với A² + B² ≠ 0

Vì mặt phẳng này đi qua A(1, 1, -1) và B(5, 2, 1) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A + B + D = 0\\5A + 2B + D = 0\end{array} \right.\)

⇒ 4A + B = 0, nếu A = 0 thì B = 0 (loại)

Vậy A ≠ 0, ta chọn A = 1 ⇒ B = -4, và D = 3

Vậy phương trình mặt phẳng là: x – 4y + 3 = 0

LG c

Đi qua điểm (3; 2; -1) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): \(x - 5y + z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 5;1} \right)\).

\(Mp\left( \beta  \right)\) qua \(A\left( {3;2; - 1} \right)\) song song với \(mp\left( \alpha  \right)\) nên \(\left( \beta  \right)\) có cùng vectơ pháp tuyến .

Do đó \(\left( \beta  \right)\): \(\left( {x - 3} \right) - 5\left( {y - 2} \right) + \left( {z + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow x - 5y + z + 8 = 0\)

Cách khác:

Vì mặt phẳng cần tìm song song với mp: x – 5y + z = 0, nên nó có phương trình dạng: x – 5y + z + D = 0, mà mặt phẳng này lại đi qua điểm (3, 2, -1) nên ta có:

3 - 5.2 + (-1) + D = 0 ⇔ D = 8

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là : x - 5y + z + 8 = 0

LG d

Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;

Phương pháp giải:

MP đi qua hai điểm A,B và vuông góc \(\left( \alpha  \right)\) thì nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} } \right]\) làm VTPT.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1;1} \right)\)

\(Mp\left( \alpha  \right)\): \(x - y + z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m  = \left( {1; - 1;1} \right)\).
\(Mp\left( \beta  \right)\) đi qua A, B và vuông góc với \(mp\left( \alpha  \right)\) nên vectơ pháp tuyến của \(\left( \beta  \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} \) và vuông góc với \(\overrightarrow m \) nên ta có thể chọn:

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = \left( {0;2;2} \right)\)

Vậy (P): \(2\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow y + z - 2 = 0\)

LG e

Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với \(abc \ne 0\)) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình: \(1\left( {z - c} \right) = 0 \Leftrightarrow z - c = 0\)

Tương tự mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.

LG g

Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right)\,,\,B\left( {0,b,0} \right)\,,\,C\left( {0,0,c} \right)\).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

\({{a + 0 + 0} \over 3} = 1;{{0 + b + 0} \over 3} = 2;{{0 + 0 + c} \over 3} = 3\) \( \Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9\)

Vậy mp(ABC): \({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\).

LG h

Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm \(\Delta ABC\) khi và chỉ khi \(OH \bot mp\left( {ABC} \right)\).

Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình :

\(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0\)

Cách khác:

Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là: A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - a;b;0} \right),\overrightarrow {CH}  = \left( {2;1;1 - c} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - b;c} \right),\overrightarrow {AH}  = \left( {2 - a;1;1} \right)\end{array}\)

Vì H(2, 1, 1) là trực tâm ΔABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CH}  = 0\\\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH}  = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\b - c = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow b = c = 2a\)

Khi đó, phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo đoạn chắn là:

\(\frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{2a}} = 1\) \( \Leftrightarrow 2x + y + z = 2a\)

Mặt khác, mặt phẳng này đi qua H(2, 1, 1) nên ta có:

2.2 + 1 + 1 = 2a <=> a = 3

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x+y+z-6=0