Bài 11 trang 16 và 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm cực trị của các hàm số sau:

LG a

\(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + 3x - 1\);

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
x = - 3 \hfill \cr} \right.;\)

\(f\left( { - 1} \right) = - {7 \over 3};\,f\left( { - 3} \right) = - 1\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x =  - 3\), giá trị cực đại của hàm số là \(f\left( { - 3} \right) =  - 1\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x =  - 1\), giá trị cực tiểu của hàm số là \(f\left( { - 1} \right) =  - {7 \over 3}\)

Cách 2.

\(f'\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
x = - 3 \hfill \cr} \right.;\)

f’’(x) = 2x + 4

⇒ f’’(-3) = -2 < 0; f’’(-1) = 2 > 0

Vậy hàm đạt cực đại tại điểm x = -3 giá trị cực đại của hàm số là f_CĐ = f(-3) = -1.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = -1, f_CT = f(-1) = -7/3

LG b

\(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} - {x^2} + 2x - 10\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = {x^2} - 2x + 2\) \( = {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\), không có cực trị.

LG c

\(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\);

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(f'\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}};\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\,\,\,\,;f\left( 1 \right) = 2 \hfill \cr 
x = - 1;f\left( { - 1} \right) = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) =  - 2\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = 2\).

Cách khác:

\(f''\left( x \right) = \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)'\) \( =  - \frac{{ - \left( {{x^2}} \right)'}}{{{{\left( {{x^2}} \right)}^2}}} =  - \frac{{ - 2x}}{{{x^4}}} = \frac{2}{{{x^3}}}\)

Vì f’’(- 1) = -2 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -1; f_CĐ = f(-1) = -2

f'' (1) = 2 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; f_CT = f(1) = 2.

LG d

\(f\left( x \right) = \left| x \right|\left( {x + 2} \right);\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

Hàm số liên tục trên \(\mathbb R\)

Với \(x > 0\) thì \(f\left( x \right) = \left| x \right|\left( {x + 2} \right) = x\left( {x + 2} \right)\) \( = {x^2} + 2x\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x + 2 > 0\) với mọi \(x > 0\).

Với \(x < 0\) thì \(f\left( x \right) = \left| x \right|\left( {x + 2} \right) =  - x\left( {x + 2} \right)\) \( =  - {x^2} - 2x\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) =  - 2x - 2\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) và \(f\left( { - 1} \right) = 1\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) = 1\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\), giá trị cực tiểu \(f\left( 0 \right) = 0\)

LG e

\(f\left( x \right) = {{{x^5}} \over 5} - {{{x^3}} \over 3} + 2\);

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = {x^4} - {x^2} = {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;f\left( 0 \right) = 2 \hfill \cr 
x = - 1;f\left( { - 1} \right) = {{32} \over {15}} \hfill \cr 
x = 1;f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}} \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) = {{32} \over {15}}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}}\)

LG f

\(f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x + 3} \over {x - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = {\bf{R}}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y'\left( x \right) = {{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 3} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 2x} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;f\left( 0 \right) = - 3 \hfill \cr 
x = 2;f\left( 2 \right) = 1 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), giá trị cực đại \(f\left( 0 \right) =  - 3\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\), giá trị cực tiểu \(f\left( 2 \right) = 1\)