Bài 6.5, 6.6, 6.7, 6.8 phần bài tập bổ sung trang 16, 17 SBT toán 6 tập 2

Bài 6.5

a) Cho phân số \(\displaystyle{a \over b}\) \((a, b ∈ N, b \ne 0).\)

 Giả sử  \(\displaystyle{a \over b} > 1\) và \(m ∈ N, m \ne 0.\) Chứng tỏ rằng :

\(\displaystyle{a \over b} < {{a + m} \over {b + m}}\)  

b) Áp dụng kết quả ở câu a) để so sánh \(\displaystyle{{434} \over {561}}\) và \(\displaystyle{{441} \over {568}}.\) 

Phương pháp giải:

Sử dụng:

Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.

Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.

Giải chi tiết:

a) \(\displaystyle{a \over b} = {{a(b + m)} \over {b(b + m)}} = {{ab + am} \over {{b^2} + bm}}\) (1)

\(\displaystyle{{a + m} \over {b + m}} = {{b(a + m)} \over {b(b + m)}} = {{ab + bm} \over {{b^2} + bm}}\) (2)

\(\displaystyle{a \over b} < 1 \Rightarrow a < b\)\(\Rightarrow ab + am < ab + bm\)  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\displaystyle{a \over b} < {{a + m} \over {b + m}}.\) 

b) Áp dụng: Rõ ràng \(\displaystyle{{434} \over {561}} < 1\) nên \(\displaystyle{{434} \over {561}} < {{434 + 7} \over {561 + 7}} = {{441} \over {568}}.\) 

Bài 6.6

a) Cho phân số \(\displaystyle{a \over b}\)  \((a, b ∈ N, b \ne 0).\)

Giả sử \(\displaystyle{a \over b} > 1\) và \(m ∈ N, m \ne 0.\) Chứng tỏ rằng : 

\(\displaystyle{a \over b} > {{a + m} \over {b + m}}.\)    

b) Áp dụng kết quả ở câu a) để so sánh \(\displaystyle{{237} \over {142}}\) và \(\displaystyle{{237} \over {142}}\) 

Phương pháp giải:

Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.

Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.

Giải chi tiết:

a) \(\displaystyle{a \over b} = {{a(b + m)} \over {b(b + m)}} = {{ab + am} \over {{b^2} + bm}}\)  (1)

\(\displaystyle{{a + m} \over {b + m}} = {{b(a + m)} \over {b(b + m)}} = {{ab + bm} \over {{b^2} + bm}}\) (2)

\(\displaystyle{a \over b} > 1 \Rightarrow a > b\)\(\Rightarrow ab + am > ab + bm\)  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\displaystyle{a \over b} > {{a + m} \over {b + m}}.\) 

b)  \(\displaystyle{{237} \over {142}} > 1\) nên \(\displaystyle{{237} \over {142}} > {{237 + 9} \over {142 + 9}} = {{246} \over {151}}.\) 

Bài 6.7

So sánh: \(\displaystyle A = {{{{17}^{18}} + 1} \over {{{17}^{19}} + 1}}\) và \(\displaystyle B = {{{{17}^{17}} + 1} \over {{{17}^{18}} + 1}}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng kết quả bài tập 6.5 để giải bài toán.

Giải chi tiết:

\(\displaystyle A = {{{{17}^{18}} + 1} \over {{{17}^{19}} + 1}} < 1 \) 

\(\displaystyle \Rightarrow A = {{{{17}^{18}} + 1} \over {{{17}^{19}} + 1}} \)\(\displaystyle < {{{{17}^{18}} + 1 + 16} \over {{{17}^{19}} + 1 + 16}} = {{{{17}^{18}} + 17} \over {{{17}^{19}} + 17}}\)\(=\displaystyle{{17.({{17}^{17}} + 1)} \over {17.({{17}^{18}} + 1)}} = {{{{17}^{17}} + 1} \over {{{17}^{18}} + 1}} = B;\)                 

Vậy \(A < B.\)

Bài 6.8

So sánh: \(\displaystyle C = {{{{98}^{99}} + 1} \over {{{98}^{89}} + 1}}\) và \(\displaystyle D = {{{{98}^{98}} + 1} \over {{{98}^{88}} + 1}}\) 

Phương pháp giải:

Áp dụng kết quả bài tập 6.6 để giải bài toán.

Giải chi tiết:

\(\displaystyle C = {{{{98}^{99}} + 1} \over {{{98}^{89}} + 1}} > 1 \) 

\(\displaystyle \Rightarrow C = {{{{98}^{99}} + 1} \over {{{98}^{89}} + 1}} \)\(\displaystyle > {{{{98}^{99}} + 1 + 97} \over {{{98}^{89}} + 1 + 97}} = {{{{98}^{99}} + 98} \over {{{98}^{89}} + 98}};\) 

Mà \(\displaystyle{{{{98}^{99}} + 98} \over {{{98}^{89}} + 98}}\)\(\displaystyle ={{98.({{98}^{98}} + 1)} \over {98.({{98}^{88}} + 1)}} = {{{{98}^{98}} + 1} \over {{{98}^{88}} + 1}} = D;\)

Vậy \(C>D.\)