Giải bài 2 trang 60 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) \({u_n} = 3n + 1\);

b) \({u_n} = 4 - 5n\);

c) \({u_n} = \frac{{2n + 3}}{5}\);

d) \({u_n} = \frac{{n + 1}}{n}\);

e) \({u_n} = \frac{n}{{{2^n}}}\);

g) \({u_n} = {n^2} + 1\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) + 1 - 3n - 1 = 3\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) trên là cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 4\), công sai \(d = 3\).

b) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 4 - 5\left( {n + 1} \right) - 4 + 5n =  - 5\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) trên là cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} =  - 1\), công sai \(d =  - 5\).

c) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 3}}{5} - \frac{{2n + 3}}{5} = \frac{2}{5}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) trên là cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 1\), công sai \(d = \frac{2}{5}\).

d) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 1}} - \frac{{n + 1}}{n} = \frac{{n\left( {n + 2} \right) - {{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) trên không là cấp số cộng.

e) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1}}{{{2^{n + 1}}}} - \frac{n}{{{2^n}}} = \frac{{n + 1 - 2n}}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{{ - n + 1}}{{{2^{n + 1}}}}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) trên không là cấp số cộng.

g) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} + 1 - {n^2} - 1 = 2n + 1\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) trên không là cấp số cộng.