Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 3 – Đề số 2 – Đại số và giải tích 11

Đề bài

Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: \(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{{{3^2}}};\dfrac{1}{{{3^3}}};\dfrac{1}{{{3^4}}};\dfrac{1}{{{3^5}}};...\). Số hạng tổng quát của dãy số này là ?

A. \({u_n} = \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{{{3^{n + 1}}}}\) \((n\ge 1)\)  

B. \({u_n} = \dfrac{1}{{{3^{n + 1}}}}\)\((n\ge 1)\)

C. \({u_n} = \dfrac{1}{{{3^n}}}\)\((n\ge 1)\)

D. \({u_n} = \dfrac{1}{{{3^{n - 1}}}}\)\((n\ge 1)\)

Câu 2: Xét xem dãy số \(({u_n})\)với \({u_n} = \dfrac{{{2^n} - 1}}{3}\)có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định công bội.

A. \(q = 3\)                  B. \(q = 2\)

C. \(q = 4\)                  D. \(q = \emptyset \)

Câu 3: Dãy số \(({u_n})\) có phải là cấp số cộng hay không ? Nếu phải hãy xác định công sai biết: \({u_n} = \dfrac{2}{n}\).

A. \(d = \emptyset \)       B. \(d = \dfrac{1}{2}\)

C. \(d =  - 3\)                 D. \(d = 1\)

Câu 4: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(({u_n})\)biết :\({u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }}\).

A. Dãy số tăng, bị chặn trên

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số giảm , bị chặn

D. Cả A,B,C đều sai    

Câu 5: Cho cấp số nhân có \({u_1} =  - 3;q = \dfrac{2}{3}.\) Số \(\dfrac{{ - 96}}{{243}}\) là số hạng thứ mấy của cấp số này.

A. Thứ 5                 

B. Thứ 6

C. Thứ 7     

D. Không phải là số hạng của cấp số

Câu 6: Xét tính bị chặn của các dãy số sau :\({u_n} = 3n - 1\)

A. Bị chặn        B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên              D. Bị chặn dưới

Câu 7: Cho dãy số \(({u_n})\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2}\\{{u_n} = 3{u_{n - 1}} - 2,n = 2,3...}\end{array}} \right.\). Viết 6 số hạng đầu của dãy :

A. \({u_1} = 2,{u_2} = 5,{u_3} = 10,{u_4} = 28,{u_5} = 82,{u_6} = 244\)

B. \({u_1} = 2,{u_2} = 4,{u_3} = 10,{u_4} = 18,{u_5} = 82,{u_6} = 244\)

C. \({u_1} = 2,{u_2} = 4,{u_3} = 10,{u_4} = 28,{u_5} = 72,{u_6} = 244\)

D. \({u_1} = 2,{u_2} = 4,{u_3} = 10,{u_4} = 28,{u_5} = 82,{u_6} = 244\)

Câu 8: Cho dãy số \(({u_n})\)với :\({u_n} = a{.3^n}\) ( a là hằng số ). Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. Dãy số có \({u_{n + 1}} = a{.3^{n + 1}}\) 

B. Hiệu số \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3a\)

C. Với a > 0 thì dãy số tăng

D. với a < 0 thì dãy số giảm

Câu 9: Xác định \(x\) để 3 số :\(1 + 2x;2{x^2} - 1; - 2x\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng ?

A. \(x =  \pm 3\)     

B. \(x =  \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)   

C. \(x =  \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\)

D. Không có giá trị nào của x

Câu 10:  Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành cấp số cộng và có một góc bằng \({25^o}\). Tìm 2 góc còn lại ?

A. \({65^0};{90^0}\)  B. \({75^0};{80^0}\)   

C. \({60^0};{95^0}\)    D. \({60^0};{90^0}\)

Câu 11: Cho cấp số cộng \(({u_n})\)thỏa :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_5} + 3{u_3} - {u_2} =  - 21}\\{3{u_7} - 2{u_4} =  - 34}\end{array}} \right.\). Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;

A. \({S_{15}} =  - 244\)         B. \({S_{15}} =  - 274\)       

C. \({S_{15}} =  - 253\)         D. \({S_{15}} =  - 285\)

Câu 12: Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của cấp số nhân đó.

A. \({u_1} = \dfrac{2}{9};{u_2} = \dfrac{2}{5};{u_3} = 2;{u_5} = 18;{u_6} = 54;{u_7} = 162\)

B. \({u_1} = \dfrac{2}{9};{u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = 2;{u_5} = 21;{u_6} = 54;{u_7} = 162\)

C. \({u_1} = \dfrac{2}{7};{u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = 2;{u_5} = 18;{u_6} = 54;{u_7} = 162\)

D. \({u_1} = \dfrac{2}{9};{u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = 2;{u_5} = 18;{u_6} = 54;{u_7} = 162\)

Câu 13: Cho dãy số \(({u_n})\) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} =  - 1}\\{{u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n}}}{2}}\end{array}} \right.\) Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là :

A. \({u_n} = ( - 1).{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n}\) 

B. \({u_n} = ( - 1).{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n + 1}}\)      

C. \(u_n = -1\)

D. \({u_n} = ( - 1).{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\)

Câu 14: Cho cấp số nhân \(({u_n})\)thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \dfrac{2}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right.\). Số \(\dfrac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số?

A. 41                             B. 12

C. 9                               D. 3

Câu 15: Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. \({a^2} + {c^2} = 2ab + 2bc + 2ac\)    

B. \({a^2} - {c^2} = 2ab + 2bc - 2ac\)

C. \({a^2} + {c^2} = 2ab + 2bc - 2ac\)

D. \({a^2} - {c^2} = 2ab - 2bc + 2ac\)

Câu 16: Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:

A. \(1;\,\,0,2;\,\,0,04;\,\,0,08;...\)

B. \(2;\,\,22;\,\,222;\,\,2222;...\)

C. \(x;\,\,2x;\,\,3x;\,\,4x;...\)

D. \(1;\,\, - {x^2};\,\,{x^4};\,\, - {x^6};...\)

Câu 17: Cho cấp số nhân có \({u_2} = \dfrac{1}{4};{u_5} = 16\). Tìm \(q,{u_1}\)

A. \(q = \dfrac{1}{2};{u_1} = \dfrac{1}{2}\)

B. \(q = \dfrac{{ - 1}}{2};{u_1} = \dfrac{{ - 1}}{2}\)      

C. \(q = 4;{u_1} = \dfrac{1}{{16}}\)             

D. \(q =  - 4;{u_1} = \dfrac{{ - 1}}{{16}}\)

Câu 18: Tính tổng \({S_n} = 1 + 11 + 111 + ... + 11...11\) (có \(10\) chữ số \(1\))

A.\(\dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}\)   

B. \(\dfrac{{{{10}^{10}} - 100}}{{81}}\) 

C. \(\dfrac{{{{10}^9} - 100}}{{81}}\)   

D. \(\dfrac{{{{10}^8} - 100}}{{81}}\)

Câu 19: Cho hai số \(x\) và \(y\) biết các số \(x - y;x + y;3x - 3y\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số \(x - 2;y + 2;2x + 3y\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Tìm \(x;y\):

A.\(x = 3;y = 1\)     

B. \(x = 3;y = 1\) hoặc \(x =  - \dfrac{{16}}{{13}};y =  - \dfrac{2}{3}\)

C. \(x = 3;y = 1\) hoặc \(x = \dfrac{{ - 6}}{{13}};y =  - \dfrac{2}{{13}}\)

D. \(x = 3;y = 1\) hoặc \(x =  - \dfrac{{16}}{3};y = \dfrac{2}{3}\)

Câu 20: Tìm \(x\) biết \(1,{x^2},6 - {x^2}\)lập thành cấp số nhân

A. \(x =  \pm 1\)           B. \(x =  \pm \sqrt 2 \)  

C. \(x =  \pm 2\)            D. \(x =  \pm \sqrt 3 \)

Câu 21: Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân \(0,5m\). Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm \(21\) bậc, mỗi bậc cao \(18cm\). Ký hiệu \({h_n}\)_­ là độ cao của bậc thứ \(n\) so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao \({h_n}\).        

A. \({h_n} = 0,18n + 0,32\,\,\left( m \right)\)   

B. \({h_n} = 0,18n + 0,5\,\,\left( m \right)\)

C. \({h_n} = 0,5n + 0,18\,\,\left( m \right)\) 

D. \({h_n} = 0,5n - 0,32\,\,\left( m \right)\)

Câu 22: Cho cấp số cộng có tổng của \(4\) số hạng liên tiếp bằng \(22\), tổng bình phương của chúng bằng \(166\). Bốn số hạng của cấp số cộng này là:

A. \(1,4,7,10\)              B. \(1,4,5,10\)

C. \(2,3,5,10\)              D. \(2,3,4,5\)

Câu 23: Cho cấp số cộng \(({u_n})\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_7} - {u_3} = 8}\\{{u_{2.}}{u_7} = 75}\end{array}} \right.\) . Tìm \({u_1};d\) ?

A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = 2}\\{{u_1} = 2,{u_1} =  - 17}\end{array}} \right.\)     

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = 2}\\{{u_1} = 3,{u_1} =  - 7}\end{array}} \right.\)

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = 2}\\{{u_1} =  - 3,{u_1} =  - 17}\end{array}} \right.\)

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = 2}\\{{u_1} = 3,{u_1} =  - 17}\end{array}} \right.\)

Câu 24: Cho tổng \({S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\). Mệnh đề nào đúng?

A. \({S_n} = \dfrac{1}{{n + 1}}\)     

B. \({S_n} = \dfrac{n}{{n + 1}}\)   

C. \({S_n} = \dfrac{n}{{n + 2}}\)   

D. \({S_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2}}\)

Câu 25: Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)với \({x_n} = \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}}\). Dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng khi:

A. a = 2                       B. a > 2

C. a < 2                       D. a > 1

Lời giải chi tiết

1	2	3	4	5
C	D	A	C	B
6	7	8	9	10
D	D	B	C	C
11	12	13	14	15
D	D	D	C	C
16	17	18	19	20
D	C	A	C	B
21	22	23	24	25
B	A	D	B	B

Câu 1. Ta có dãy số trên là cấp số nhân với \({u_1} = \dfrac{1}{3};q = \dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{3}.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \dfrac{1}{{{3^n}}}\)

Chọn C.

Câu 2. Ta có

\(\left. \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{{{2^1} - 1}}{3} = \dfrac{1}{3}\\{u_2} = \dfrac{{{2^2} - 1}}{3} = 1\\{u_3} = \dfrac{{{2^3} - 1}}{3} = \dfrac{7}{3}\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {1:\dfrac{1}{3}} \right) \ne \dfrac{7}{3}\)

Vậy \(({u_n})\) không phải là cấp số nhân nên không tồn tại q.

Chọn D.

Câu 3. Ta có

\(\left. \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{2}{1} = 2\\{u_2} = \dfrac{2}{2} = 1\\{u_3} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{1}{2} \ne \dfrac{2}{3}\)

Vậy \(({u_n})\) không phải là cấp số cộng nên không tồn tại d.

Chọn A.

Câu 4. Ta có

\(\begin{array}{l}\forall n \in {N^*},n < n + 1 \Rightarrow \sqrt {1 + n + {n^2}} \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }} > \dfrac{1}{{\sqrt {1 + (n + 1) + {{(n + 1)}^2}} }} \Rightarrow {u_n} > {u_{n + 1}}\end{array}\)

Mặt khác\(\sqrt {{{\left( {n + \dfrac{1}{4}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}  \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \) \(\Rightarrow 0 < {u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }} \le \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)

Chọn C.

Câu 5. Ta có \({u_n} = ( - 3).{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}} = \dfrac{{ - 96}}{{243}}\)

\(\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}} = \dfrac{{32}}{{243}} \)

\(\Leftrightarrow n - 1 = 5 \Leftrightarrow n = 6\)

Chọn B.

Câu 6. Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3(n + 1) - 1 - (3n - 1) = 3 > 0\).

Dãy số trên tăng nên \({u_n} = 3n - 1 \ge 2,\forall n \ge 1\)

Chọn D.

Câu 7. Ta có

\({u_2} = 3.2 - 2 = 4;\)

\({u_3} = 3.4 - 2 = 10;\)

\({u_4} = 3.10 - 2 = 28;\)

\({u_5} = 3.28 - 2 = 82;\)

\({u_6} = 3.82 - 2 = 244;\)

Chọn D.

Câu 9. Ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{{1 + 2x - 2x}}{2} = 2{x^2} - 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} + 1 = 2{x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{3}{4} \\\Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

Chọn B.

Câu 10. Gọi số đo hai góc còn lại lần lượt là x và y \(\left( {0 < x < y < {{180}^ \circ }} \right)\)

Áp dụng tổng 3 góc trong một tam giác bằng \({180^ \circ }\) ta có \(x + y + {25^ \circ } = {180^ \circ } \Leftrightarrow x + y = {155^ \circ }\)

Mặt khác, 3 góc này lại lập thành cấp số cộng nên \({25^ \circ }\) là góc bé nhất

Suy ra

\(\begin{array}{l}x + y + {25^ \circ } = {180^ \circ }\\ \Leftrightarrow x + y = {155^ \circ }\\\left\{ \begin{array}{l}x + y = {155^ \circ }\\x = \dfrac{{{{25}^ \circ } + y}}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {155^ \circ }\\2x - y = {25^ \circ }\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {60^ \circ }\\y = {95^ \circ }\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn C.

Câu 11. Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_5} + 3{u_3} - {u_2} =  - 21}\\{3{u_7} - 2{u_4} =  - 34}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) - {u_1} - d =  - 21\\3({u_1} + 6d) - 2({u_1} + 3d) =  - 34\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u_1} + 9d =  - 21\\{u_1} + 12d =  - 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó \({S_{15}} = n{u^1} + \dfrac{{n(n - 1)}}{2}d = 15.2 + \dfrac{{15.14}}{2}.( - 3) =  - 285\)

Chọn D.

Câu 12. Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 6\\{u_7} = 243{u_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = 6\\{u_1}{q^6} = 243{u_1}q\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{2}{9}\\q = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow {u_n} = \dfrac{2}{9}{.3^{n - 1}}\)

\({u_2} = \dfrac{2}{9}{.3^1} = \dfrac{2}{3};\)	\({u_3} = \dfrac{2}{9}{.3^2} = 2;\)	\({u_5} = \dfrac{2}{9}{.3^4} = 18;\)
\({u_6} = \dfrac{2}{9}{.3^5} = 54\);	\({u_7} = \dfrac{2}{9}{.3^6} = 162.\)

Chọn D.

Câu 13. Ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} =  - 1}\\\begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{{ - 1}}{2}\\{u_3} = \dfrac{{ - 1}}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{ - 1}}{4}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 1\\q = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow {u_n} = ( - 1).{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\)

Chọn D.

Câu 14.

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \dfrac{2}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \dfrac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 234{u_1}{q^7}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow {u_n} = 2.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{6561}} = 2.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}} \\\Leftrightarrow n - 1 = 8 \Leftrightarrow n = 9\end{array}\)    

Chọn C.

Câu 15. Ta có

\(\begin{array}{c}b = \dfrac{{a + c}}{2} \Leftrightarrow a + c = 2b \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 4{b^2} - 2ac\\ \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2b(a + c) - 2ac\\ \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2ab + 2bc - 2ac\end{array}\)        

Chọn C.

Câu 17. Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{1}{4}\\{u_5} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q = \dfrac{1}{4}\\{u_1}{q^4} = 16\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q = \dfrac{1}{4}\\{q^3} = 64\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{{16}}\\q = 4\end{array} \right.\)

Chọn C.

Câu 18. Ta có

\(\begin{array}{c}{S_n} = 1 + 11 + 111 + ... + \underbrace {11...11}_{10}\\9{S_n} = 9 + 99 + 999 + ... + \underbrace {99...99}_{10}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = (10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + ... + ({10^{10}} - 1)\\ = \dfrac{{10(1 - {{10}^{10}})}}{{1 - 10}} - 10 = \dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{9}\\{S_n} = \dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}\end{array}\)    

Chọn A.

Câu 19. Ta có

\(\begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{l}x + y = \dfrac{{x - y + 3x - 3y}}{2}\\{(y + 2)^2} = \left( {x - 2} \right)(2x + 3y)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\26{y^2} - 22y - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = \dfrac{{ - 2}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 6}}{{13}}\\y = \dfrac{{ - 2}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn C.

Câu 20. Ta có \(\begin{array}{c}{x^4} = 1.\left( {6 - {x^2}} \right) \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} - 6 = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2\\{x^2} =  - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \end{array}\)

Chọn B.

Câu 21. Độ cao của bậc thang so với mặt sân lập thành cấp số cộng với \({u_1} = 0,5;d = 0,18 \Leftrightarrow {h_n} = 0,5 + 0,18n\)

Chọn B.

Câu 22. Gọi bốn số hạng liên tiếp của cấp số cộng là x; y; z; t. Khi đó:

\(\begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t = 22\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} = 166\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 6d = 22\\{x^2} + {\left( {x + d} \right)^2} + {\left( {x + 2d} \right)^2} + {\left( {x + 3d} \right)^2} = 166\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = \dfrac{{11 - 2x}}{3}\\\dfrac{{20}}{9}{x^2} - \dfrac{{220}}{9}x + \dfrac{{200}}{9} = 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = \dfrac{{11 - 2x}}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 10\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\d = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\d =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 1;4;7;10\end{array}\)

Chọn A.

Câu 23.Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_7} - {u_3} = 8}\\{{u_{2.}}{u_7} = 75}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 6d - {u_1} - 2d = 8\\\left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\\left( {{u_1} + 2} \right)\left( {{u_1} + 12} \right) = 75\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_1} =  - 17\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn D.

Câu 24. Ta có

\(\begin{array}{c}{S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\\ = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n - 1}}\\ = 1 - \dfrac{1}{{n - 1}} = \dfrac{n}{{n - 1}}\end{array}\)

Chọn B.

Câu 25. Ta có \(\begin{array}{l}{x_n} = \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}} = a + \dfrac{{ - 2a + 4}}{{n + 2}}\\ \Rightarrow {x_{n + 1}} - {x_n} = \left( { - 2a + 4} \right)\left( {\dfrac{1}{{n + 3}} - \dfrac{1}{{n + 2}}} \right) = \dfrac{2a - 4}{(n+3)(n+2)}\end{array}\)

Để dãy số tăng thì \(2a - 4 > 0 \Leftrightarrow a > 2\)

Chọn B.