Câu 1 Đề I trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a va cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 \).

LG a

Tính thể tích của hình chóp đã cho.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).\)
Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên \(AC = BD = a\sqrt 2  \Rightarrow AO = {{a\sqrt 2 } \over 2}.\)
Xét tam giác vuông SOA có: \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {2{a^2} - {{{a^2}} \over 2}}  = {{a\sqrt 6 } \over 2}.\)

\(\eqalign{
& {S_{ABCD}} = {a^2} \cr 
& \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = {1 \over 3}SO.{S_{ABCD}} = {1 \over 3}{{a\sqrt 6 } \over 2}.{a^2} = {{{a^3}\sqrt 6 } \over 6}. \cr} \)

LG b

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Lời giải chi tiết:

Gọi A’ là trung điểm của SA.
Trong (SAC) qua A’ kẻ đường thẳng vuông góc với SA cắt SO tại I.
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.
Dễ thấy 

\(\eqalign{
& \Delta SA'I\,\,\text{ đồng dạng }\,\,\Delta SOA\,(g.g) \cr 
& \Rightarrow {{SA} \over {SI}} = {{SO} \over {SA'}} \Rightarrow SI = {{SA.SA'} \over {SO}} = {{a\sqrt 2 .{{a\sqrt 2 } \over 2}} \over {{{a\sqrt 6 } \over 2}}} = {{a\sqrt 6 } \over 3} = R \cr} \)

LG c

Gọi A’ và C’ lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và SC. Chứng minh rằng hai hình chóp A’.ABCD và C’.CBAD bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có A’C’ // (ABCD) \( \Rightarrow d\left( {A';\left( {ABCD} \right)} \right) = d\left( {C';\left( {ABCD} \right)} \right)\)
\( \Rightarrow {V_{A'.ABCD}} = {V_{C'.CBAD}}.\)
Vậy hai khối chóp A’.ABCD và C’.CBAD bằng nhau.