Bài 1 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11

Tính đạo hàm của các hàm số sau

LG a

\(y = {{{x^3}} \over 3} - {{{x^2}} \over 2} + x - 5\)

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)' - \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)' + \left( x \right)' - \left( 5 \right)'\\
= \dfrac{{3{x^2}}}{3} - \dfrac{{2x}}{2} + 1\\
= {x^2} - x + 1
\end{array}\)

LG b

\(\displaystyle y = {2 \over x} - {4 \over {{x^2}}} + {5 \over {{x^3}}} - {6 \over {7{x^4}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {\dfrac{2}{x}} \right)' - \left( {\dfrac{4}{{{x^2}}}} \right)' + \left( {\dfrac{5}{{{x^3}}}} \right)' - \left( {\dfrac{6}{{7{x^4}}}} \right)\\ =  - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{{ - 4.\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}} + \dfrac{{ - 5\left( {{x^3}} \right)'}}{{{x^6}}} - \dfrac{{ - 6\left( {{x^4}} \right)'}}{{7{x^8}}}\\ =- \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{{4.2x}}{{{x^4}}} - \dfrac{{5.3{x^2}}}{{{x^6}}} + \dfrac{{6.4{x^3}}}{{7{x^8}}}\\
= - \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{8}{{{x^3}}} - \dfrac{{15}}{{{x^4}}} + \dfrac{{24}}{{7{x^5}}}\\
\end{array}\)

LG c

\(\displaystyle y = {{3{x^2} - 6x + 7} \over {4x}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \dfrac{{\left( {3{x^2} - 6x + 7} \right)'.4x - \left( {3{x^2} - 6x + 7} \right).\left( {4x} \right)'}}{{{{\left( {4x} \right)}^2}}}\\= \dfrac{{\left( {6x - 6} \right).4x - 4\left( {3{x^2} - 6x + 7} \right)}}{{16{x^2}}}\\
 = \dfrac{{24{x^2} - 24x - 12{x^2} + 24x - 28}}{{16{x^2}}}\\
= \dfrac{{12{x^2} - 28}}{{16{x^2}}} = \dfrac{{3{x^2} - 7}}{{4{x^2}}}\\
\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{2} + \dfrac{7}{{4x}}\\
y' = \left( {\dfrac{3}{4}x} \right)' - \left( {\dfrac{3}{2}} \right)' + \left( {\dfrac{7}{{4x}}} \right)'\\
= \dfrac{3}{4} - 0 - \dfrac{7}{{4{x^2}}}\\
= \dfrac{{3{x^2} - 7}}{{4{x^2}}}
\end{array}\)

LG d

\(\displaystyle y = ({2 \over x} + 3x)(\sqrt x  - 1)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y'  = \left( {\dfrac{2}{x} + 3x} \right)'\left( {\sqrt x  - 1} \right) + \left( {\dfrac{2}{x} + 3x} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)'\\= \left( { - \dfrac{2}{{{x^2}}} + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) + \left( {\dfrac{2}{x} + 3x} \right).\dfrac{1}{{2\sqrt x }}\\
= \dfrac{{ - 2}}{{x\sqrt x }} + \dfrac{2}{{{x^2}}} + 3\sqrt x - 3 + \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{3}{2}\sqrt x \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 1}}{{x\sqrt x }} + \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{{9\sqrt x }}{2} - 3\\
\end{array}\)

LG e

\(\displaystyle y = {{1 + \sqrt x } \over {1 - \sqrt x }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y'  = \dfrac{{\left( {1 + \sqrt x } \right)'\left( {1 - \sqrt x } \right) - \left( {1 + \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {1 - \sqrt x } \right)}^2}}}\\ =\dfrac{{\dfrac{1}{{2\sqrt x }}\left( {1 - \sqrt x } \right) + \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\left( {1 + \sqrt x } \right)}}{{{{\left( {1 - \sqrt x } \right)}^2}}}\\
= \dfrac{1}{{\sqrt x {{\left( {1 - \sqrt x } \right)}^2}}}\\
\end{array}\)

LG f

\(\displaystyle y = {{ - {x^2} + 7x + 5} \over {{x^2} - 3x}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y'  = \dfrac{{\left( { - {x^2} + 7x + 5} \right)'\left( {{x^2} - 3x} \right) - \left( { - {x^2} + 7x + 5} \right)\left( {{x^2} - 3x} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 3x} \right)}^2}}}\\= \dfrac{{\left( { - 2x + 7} \right)\left( {{x^2} - 3x} \right) - \left( {2x - 3} \right)\left( { - {x^2} + 7x + 5} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 3x} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{ - 2{x^3} + 13{x^2} - 21x + 2{x^3} - 17{x^2} + 11x + 15}}{{{{\left( {{x^2} - 3x} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{ - 4{x^2} - 10x + 15}}{{{{\left( {{x^2} - 3x} \right)}^2}}}
\end{array}\)