Bài 36 trang 207 SGK Đại số 10 Nâng cao

Với số \(α,0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\), xét điểm M của đường tròn lượng giác xác định bởi 2α , rồi xét tam giác vuông A’MA (A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn).

LG a

Tính AM² bằng hai cách khác nhau để suy ra: cos2α = 1 – 2sin²α

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& A{M^2} = \overline {AH} .\overline {{\rm{AA}}} {\rm{' = (}}\overline {AO} + \overline {OH} ).\overline {{\rm{AA}}'} \cr 
& = ( - 1 + \cos 2\alpha )( - 2) = 2(1 - \cos 2\alpha ) \cr} \)

Lại có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2\alpha = \widehat {AOM} = \widehat {OA'M} + \widehat {OMA'}\\
\widehat {OA'M} = \widehat {OMA'}\left( {\Delta OMA'\,can} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 2\alpha = \widehat {OA'M} + \widehat {OMA'} = 2\widehat {OA'M}\\
\Rightarrow \widehat {OA'M} = \alpha \\
\Rightarrow AM = AA'\sin \widehat {AA'M} = 2\sin \alpha \\
\Rightarrow A{M^2} = 4{\sin ^2}\alpha
\end{array}\)

Vậy:

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\left( {1 - \cos 2\alpha } \right) = 4{\sin ^2}\alpha \\
\Leftrightarrow 1 - \cos 2\alpha = 2{\sin ^2}\alpha \\
\Leftrightarrow \cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha
\end{array}\)

Cách khác:

LG b

Tính diện tích tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy ra:

sin2α = 2sinα cosα

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({S_{A'MA}} = {1 \over 2}AA'.MH = MH = \sin 2\alpha \)

Lại có:

\({S_{A'MA}} = {1 \over 2}A'M.AM \) \(= {1 \over 2}A'A\cos \alpha .A'A\sin \alpha  \)

\(= 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Vậy: \(\sin2α  = 2\sinα \cosα\)

LG c

Chứng minh: \(\sin {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } ;\) \(\cos {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \) rồi tính các giá trị lượng giác của các góc \({{3\pi } \over 8}\) và \({{5\pi } \over 8}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi vừa chứng minh ở câu a, b.

Xuất phát từ \(\cos \frac{\pi }{4},\sin \frac{\pi }{4}\) để tính \(\cos \frac{\pi }{8},\sin \frac{\pi }{8}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\cos {\pi  \over 4} = 1 - 2{\sin ^2}{\pi  \over 8}\) nên:

\(\eqalign{
& {\sin ^2}{\pi \over 8} = {1 \over 2}(1 - {{\sqrt 2 } \over 2}) = {{2 - \sqrt 2 } \over 4} \cr 
& \sin {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2} \cr 
&\cos \frac{\pi }{8} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\pi }{8}}  \cr &= \sqrt {1 - \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}}  = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2} \cr 
& {{3\pi } \over 8} = {\pi \over 2} - {\pi \over 8} \cr &\Rightarrow \left\{ \matrix{
\cos {{3\pi } \over 8} = \sin {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr 
\sin {{3\pi } \over 8} = \cos {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr 
\tan {{3\pi } \over 8} = \cot {\pi \over 8} = \sqrt 2 + 1 \hfill \cr 
\cot {{3\pi } \over 8} = \tan {\pi \over 8} = \sqrt 2 - 1 \hfill \cr} \right. \cr 
& {{5\pi } \over 8} = {\pi \over 2} + {\pi \over 8} \cr &\Rightarrow \left\{ \matrix{
\cos {{5\pi } \over 8} = - \sin {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr 
\sin {{5\pi } \over 8} = \cos {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr 
\tan {{5\pi } \over 8} = - \cot {\pi \over 8} = - \sqrt 2 - 1 \hfill \cr 
\cot {{5\pi } \over 8} = - \tan {\pi \over 8} = 1 - \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)