Bài 11 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình 

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + at \hfill \cr 
y = 1 + bt \hfill \cr 
z = 5 + ct \hfill \cr} \right.\) trong đó a, b, c thay đổi sao cho \({c^2} = {a^2} + {b^2}.\)

LG a

Chứng minh rằng đường thẳng \(\Delta \) đi qua một điểm cố định, góc giữa \(\Delta \) và Oz là không đổi.

Lời giải chi tiết:

\(\Delta \) đi qua điểm A(1; 1; 5) cố định.
\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {a,b,c} \right).\)
Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(\Delta \) và trục Oz.

Ta có:
\(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \left| {{c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}} \right|  \) \( = \left| {{c \over {c\sqrt 2 }}} \right|= {{\sqrt 2 } \over 2}.\)
Suy ra \(\varphi  = {45^0}.\)

LG b

Tìm quỹ tích các giao điểm của \(\Delta \) và mp(Oxy).

Lời giải chi tiết:

Vì \({c^2} = {a^2} + {b^2}\) nên \(c \ne 0\) (vì nếu c = 0 thì a = b = 0).
Gọi M(x, y, z) là giao điểm của \(\Delta \) và mp(Oxy) thì (x, y, z) thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + at \hfill \cr 
y = 1 + bt \hfill \cr 
z = 5 + ct \hfill \cr 
z = 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 1 = at \hfill \cr 
y - 1 = bt \hfill \cr 
t = - {5 \over c} \hfill \cr 
z = 0 \hfill \cr} \right..\)

Từ đó suy ra \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right).{{25} \over {{c^2}}} = 25\) và z = 0.
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(1; 1; 0) bán kính bằng 5 và nằm trong mp(Oxy).