Bài 4: Vi phân

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\)

Giả sử \(\Delta x\) là số gia của x sao cho \(x + \Delta x \in (a;b).\)

Vi phân của hàm số \(y=f(x)\) tại x là \(dy = df(x) = f'(x)dx.\)

\(f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\)

a) Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số y = f(x)

Phương pháp:

• Tính đạo hàm f'(x).
• Vi phân của hàm số y = f(x) tại x là \(df(x) = f'(x)dx.\)
• Vi phân của hàm số y = f(x) tại \(x_0\) là \(df(x_0) = f'(x_0)dx.\)

b) Dạng 2: Tìm giá trị gần đúng của một biểu thức

Phương pháp:

• Lập hàm số \(y=f(x)\) và chọn \(x_0, \Delta x\) một cách thích hợp.
• Tính đạo hàm \(f'(x), f'(x_0)\) và \(f(x_0).\)
• Giá trị gần đúng của biểu thức 

\(P = f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\)

4. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) \(f(x) = \sin x - x\cos x\).

b) \(f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}\).

c) \(f(x) = x{\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) tại \(x=\frac{\pi}{2}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(f'(x) = \cos x - (\cos x - x\sin x) \)

\(= x\sin x\) nên \(df(x) = x\sin xdx.\)

b) \(f'(x) = - \frac{3}{{{x^4}}}\) nên \(df(x) = - \frac{3}{{{x^4}}}dx.\)

c) \(f'(x) = \cos x - x\sin x \)

\(\Rightarrow f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}\) nên \(df\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}dx.\)

Ví dụ 2: 

Tính gần đúng các giá trị sau:

a) \(\sqrt {4,01}\).

b) \(\sin {29^0}\).

Hướng dẫn giải:

a) Đặt \(f(x) = \sqrt x .\)

Chọn \(x_0=4\) và \(\Delta x=0,01\) thì 

\(4,01=4+0,01=x_0+\Delta x.\)

\(f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt x}\Rightarrow f'(4)=\frac{1}{2 \sqrt 4}=\frac{1}{4}.\)

\(f(4)=2.\)

Vậy: \(\sqrt {4,01} = f(4 + 0,01) \)

\(\approx f(4) + f'(4).0,01 = 2,0025.\)

b) Đặt \(f(x)=\sin x,\) chọn \(x_0=30^0\) và 

\(\Delta x=-1^0=-\frac{-\pi}{180}.\)

Ta có: \(29^0=30^0-1^0=x_0+\Delta x.\)

\(f'(x)=\cos x,f'(30^0)=\cos (30^0)=\frac{\sqrt 3}{2};\)

\(f(30^0)=\sin 30^0=\frac{1}{2}.\)

Vậy: \(\sin 29^0 = f(30^0-1^0) \)

\(\approx f(30^0)+f'(30^0).\left (- \frac{\pi}{180} \right )\approx 0,4849.\)

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\)

Giả sử \(\Delta x\) là số gia của x sao cho \(x + \Delta x \in (a;b).\)

Vi phân của hàm số \(y=f(x)\) tại x là \(dy = df(x) = f'(x)dx.\)

\(f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\)

a) Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số y = f(x)

Phương pháp:

• Tính đạo hàm f'(x).
• Vi phân của hàm số y = f(x) tại x là \(df(x) = f'(x)dx.\)
• Vi phân của hàm số y = f(x) tại \(x_0\) là \(df(x_0) = f'(x_0)dx.\)

b) Dạng 2: Tìm giá trị gần đúng của một biểu thức

Phương pháp:

• Lập hàm số \(y=f(x)\) và chọn \(x_0, \Delta x\) một cách thích hợp.
• Tính đạo hàm \(f'(x), f'(x_0)\) và \(f(x_0).\)
• Giá trị gần đúng của biểu thức 

\(P = f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\)

4. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) \(f(x) = \sin x - x\cos x\).

b) \(f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}\).

c) \(f(x) = x{\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) tại \(x=\frac{\pi}{2}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(f'(x) = \cos x - (\cos x - x\sin x) \)

\(= x\sin x\) nên \(df(x) = x\sin xdx.\)

b) \(f'(x) = - \frac{3}{{{x^4}}}\) nên \(df(x) = - \frac{3}{{{x^4}}}dx.\)

c) \(f'(x) = \cos x - x\sin x \)

\(\Rightarrow f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}\) nên \(df\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}dx.\)

Ví dụ 2: 

Tính gần đúng các giá trị sau:

a) \(\sqrt {4,01}\).

b) \(\sin {29^0}\).

Hướng dẫn giải:

a) Đặt \(f(x) = \sqrt x .\)

Chọn \(x_0=4\) và \(\Delta x=0,01\) thì 

\(4,01=4+0,01=x_0+\Delta x.\)

\(f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt x}\Rightarrow f'(4)=\frac{1}{2 \sqrt 4}=\frac{1}{4}.\)

\(f(4)=2.\)

Vậy: \(\sqrt {4,01} = f(4 + 0,01) \)

\(\approx f(4) + f'(4).0,01 = 2,0025.\)

b) Đặt \(f(x)=\sin x,\) chọn \(x_0=30^0\) và 

\(\Delta x=-1^0=-\frac{-\pi}{180}.\)

Ta có: \(29^0=30^0-1^0=x_0+\Delta x.\)

\(f'(x)=\cos x,f'(30^0)=\cos (30^0)=\frac{\sqrt 3}{2};\)

\(f(30^0)=\sin 30^0=\frac{1}{2}.\)

Vậy: \(\sin 29^0 = f(30^0-1^0) \)

\(\approx f(30^0)+f'(30^0).\left (- \frac{\pi}{180} \right )\approx 0,4849.\)