Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng \(at + b = 0\) trong đó a, b là các hằng số \(\left( {a \ne 0} \right)\) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}
2\sin x - 1 = 0{\mkern 1mu} \\
\cos 2x + \frac{1}{2} = 0;\\
3\tan x - 1 = 0\\
\sqrt 3 \cot x + 1 = 0
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\\a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0\\a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\\a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\end{array}\)
Đặt:
\(\begin{array}{l}
t = \sin x\,\,( - 1 \le t \le 1)\\
\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \cos x\,\,( - 1 \le t \le 1)}\\
{t = \tan x}\\
{t = \cot x}
\end{array}
\end{array}\)
Nếu \(a\) là một số cho trước mà \(\tan \alpha \) xác định thì phương trình \(\tan x = \tan \alpha\) có nghiệm \(x = \alpha + k\pi \) thoả điều kiện \(\cos x \ne 0\).
Phương trình \(\tan P\left( x \right) = \tan Q\left( x \right)\) thì cần phải chú ý đến điều kiện \(\cos P\left( x \right) \ne 0\) và \(\cos Q\left( x \right) \ne 0\).
\(a\sin x + b\cos x = c\,\,\,({\rm{1}})\)
Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
Cách 1: Chia hai vế của (1) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \)
\(\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.\)
Phương trình trở thành:
\(\sin x\sin \varphi + \cos x\cos \varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)
\(\Leftrightarrow \cos \left( {x - \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Đặt \(\cos \alpha = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) ta được phương trình lượng giác cơ bản.
Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)
Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi + cosxsin\varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)
\(\Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Cách 2:
- Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,{\rm{ k}} \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) không
- Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\).
Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
Phương trình trở thành:
\(a.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c \)
\( \Leftrightarrow \left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0\,\,({\rm{2}})\)
Giải (2) theo t, tìm được t thay vào \(t = \tan \frac{x}{2}\) suy ra x
Cách 3:
Nếu \(a \ne 0\) chia 2 vế cho a rồi ta đặt
\(\tan \alpha = \frac{b}{a}\) \(\left( { - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\)
Phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l}
\sin x + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\cos x = \frac{c}{a}\\
\Leftrightarrow \cos \alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{a}\cos \alpha \\
\Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{a}\cos \alpha
\end{array}\)
Đặt \(\sin \varphi = \frac{c}{a}\cos \alpha \) ta được phương trình lượng giác cơ bản \(\sin (x + \alpha ) = \sin \varphi \).
Giải các phương trình sau:
a) \(2\sin x - 1 = 0\,.\)
b) \(\cos 2x + \frac{1}{2} = 0.\)
c) \(3\tan x - 1 = 0.\)
d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0.\)
e) \(2\cos x - \sin 2x = 0\)
a) \(2\sin x - 1 = 0\, \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \)
\(\Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(\cos 2x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{{ - 1}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)
\( \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \)
\(\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(3\tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{3} \)
\(\Leftrightarrow x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{C}} \right)\)
d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} \)
\(\Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{{2\pi }}{3} \)
\(\Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
e) \(\cos x - \sin 2x = 0 \)
\(\Leftrightarrow \cos x - 2\sin x\cos x = 0 \)
\(\Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x = 0}\\
{1 - 2\sin x = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x = 0}\\
{\sin x = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\
{x = \frac{\pi }{6} + l\pi }\\
{x = \frac{{5\pi }}{6} + l\pi }
\end{array}} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)
\end{array}\)
Giải các phương trình sau:
a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\)
b) \(co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0\)
c) \(3\sin {2^2}x + 7\cos 2x - 3 = 0\)
d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)
a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\,\,(1)\)
Đặt \(t = \sin x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\).
Phương trình (1) trở thành:
\(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\left( {nhan} \right)\\t = \frac{3}{2}\;\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = 1\), ta được:
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \({\cos ^2}x + 3\cos x - 1 = 0\left( 2 \right)\)
Đặt \(t = \cos x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\).
Phương trình (2) trở thành:
\({t^2} + 3t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {nhan} \right)\\t = \frac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\) ta được:
\(\begin{array}{l}
\cos x = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\\
\Leftrightarrow x = \pm \arccos \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)
\end{array}\)
c) \(3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0 \)
\(\Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x - 3 = 0\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 7\cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow \cos 2x\left( {3\cos 2x - 7} \right) = 0
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos 2x = 0}\\
{3\cos 2x - 7 = 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)
+) Giải phương trình: \(\cos 2x = 0 \)
\(\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \)
\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
+) Giải phương trình: \(3\cos 2x - 7 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \cos 2x = \frac{7}{3}\)
Vì \(\frac{7}{3} > 1\) nên phương trình \(3\cos 2x - 7 = 0\) vô nghiệm.
Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)
Điều kiện: \(\cos x \ne 0\) (*)
\(\begin{array}{l}
pt \Leftrightarrow \\
1 + {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 = 0\)
Đặt \(t = \tan x\)
Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)t - \sqrt 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)
+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
+ Với \(t = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là:
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2\)
b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \)
c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)
a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2(1)\)
\( (1)\,\Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow \sin 3x + \tan \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow \)
\(\sin 3x\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{3} \)
\(\Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{3x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (1) là \(x = - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \) (2)
- Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \) không là nghiệm của phương trình (2)
- Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0\). Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\).
Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
Phương trình (2) trở thành: \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} - \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 2 + \sqrt 3 \)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right)2t - 1 + {t^2}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {t^2}} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 3 + \sqrt 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t = \sqrt 3 }
\end{array}} \right.
\end{array}
\end{array}\)
+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
+ Với\(t = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = \sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\,(3)\)
\(\begin{array}{l}
(3) \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3 + \cos 2x\\
\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3 + \cos 2x\\
\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos 2x\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3 - \sqrt 2
\end{array}\)
Điều kiện có nghiệm của phương trình:
\({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
Khi đó: \(2 + {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} \ge {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \)
\(\Leftrightarrow 5 - 2\sqrt 2 \ge 11 - 6\sqrt 2 \) (không thỏa)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng \(at + b = 0\) trong đó a, b là các hằng số \(\left( {a \ne 0} \right)\) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}
2\sin x - 1 = 0{\mkern 1mu} \\
\cos 2x + \frac{1}{2} = 0;\\
3\tan x - 1 = 0\\
\sqrt 3 \cot x + 1 = 0
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\\a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0\\a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\\a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\end{array}\)
Đặt:
\(\begin{array}{l}
t = \sin x\,\,( - 1 \le t \le 1)\\
\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \cos x\,\,( - 1 \le t \le 1)}\\
{t = \tan x}\\
{t = \cot x}
\end{array}
\end{array}\)
Nếu \(a\) là một số cho trước mà \(\tan \alpha \) xác định thì phương trình \(\tan x = \tan \alpha\) có nghiệm \(x = \alpha + k\pi \) thoả điều kiện \(\cos x \ne 0\).
Phương trình \(\tan P\left( x \right) = \tan Q\left( x \right)\) thì cần phải chú ý đến điều kiện \(\cos P\left( x \right) \ne 0\) và \(\cos Q\left( x \right) \ne 0\).
\(a\sin x + b\cos x = c\,\,\,({\rm{1}})\)
Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
Cách 1: Chia hai vế của (1) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \)
\(\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.\)
Phương trình trở thành:
\(\sin x\sin \varphi + \cos x\cos \varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)
\(\Leftrightarrow \cos \left( {x - \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Đặt \(\cos \alpha = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) ta được phương trình lượng giác cơ bản.
Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)
Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi + cosxsin\varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)
\(\Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Cách 2:
- Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,{\rm{ k}} \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) không
- Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\).
Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
Phương trình trở thành:
\(a.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c \)
\( \Leftrightarrow \left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0\,\,({\rm{2}})\)
Giải (2) theo t, tìm được t thay vào \(t = \tan \frac{x}{2}\) suy ra x
Cách 3:
Nếu \(a \ne 0\) chia 2 vế cho a rồi ta đặt
\(\tan \alpha = \frac{b}{a}\) \(\left( { - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\)
Phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l}
\sin x + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\cos x = \frac{c}{a}\\
\Leftrightarrow \cos \alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{a}\cos \alpha \\
\Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{a}\cos \alpha
\end{array}\)
Đặt \(\sin \varphi = \frac{c}{a}\cos \alpha \) ta được phương trình lượng giác cơ bản \(\sin (x + \alpha ) = \sin \varphi \).
Giải các phương trình sau:
a) \(2\sin x - 1 = 0\,.\)
b) \(\cos 2x + \frac{1}{2} = 0.\)
c) \(3\tan x - 1 = 0.\)
d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0.\)
e) \(2\cos x - \sin 2x = 0\)
a) \(2\sin x - 1 = 0\, \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \)
\(\Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(\cos 2x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{{ - 1}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)
\( \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \)
\(\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(3\tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{3} \)
\(\Leftrightarrow x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{C}} \right)\)
d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} \)
\(\Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{{2\pi }}{3} \)
\(\Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
e) \(\cos x - \sin 2x = 0 \)
\(\Leftrightarrow \cos x - 2\sin x\cos x = 0 \)
\(\Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x = 0}\\
{1 - 2\sin x = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x = 0}\\
{\sin x = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\
{x = \frac{\pi }{6} + l\pi }\\
{x = \frac{{5\pi }}{6} + l\pi }
\end{array}} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)
\end{array}\)
Giải các phương trình sau:
a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\)
b) \(co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0\)
c) \(3\sin {2^2}x + 7\cos 2x - 3 = 0\)
d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)
a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\,\,(1)\)
Đặt \(t = \sin x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\).
Phương trình (1) trở thành:
\(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\left( {nhan} \right)\\t = \frac{3}{2}\;\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = 1\), ta được:
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \({\cos ^2}x + 3\cos x - 1 = 0\left( 2 \right)\)
Đặt \(t = \cos x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\).
Phương trình (2) trở thành:
\({t^2} + 3t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {nhan} \right)\\t = \frac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\) ta được:
\(\begin{array}{l}
\cos x = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\\
\Leftrightarrow x = \pm \arccos \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)
\end{array}\)
c) \(3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0 \)
\(\Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x - 3 = 0\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 7\cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow \cos 2x\left( {3\cos 2x - 7} \right) = 0
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos 2x = 0}\\
{3\cos 2x - 7 = 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)
+) Giải phương trình: \(\cos 2x = 0 \)
\(\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \)
\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
+) Giải phương trình: \(3\cos 2x - 7 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \cos 2x = \frac{7}{3}\)
Vì \(\frac{7}{3} > 1\) nên phương trình \(3\cos 2x - 7 = 0\) vô nghiệm.
Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)
Điều kiện: \(\cos x \ne 0\) (*)
\(\begin{array}{l}
pt \Leftrightarrow \\
1 + {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 = 0\)
Đặt \(t = \tan x\)
Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)t - \sqrt 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)
+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
+ Với \(t = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là:
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2\)
b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \)
c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)
a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2(1)\)
\( (1)\,\Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow \sin 3x + \tan \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow \)
\(\sin 3x\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{3} \)
\(\Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{3x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (1) là \(x = - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \) (2)
- Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \) không là nghiệm của phương trình (2)
- Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0\). Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\).
Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
Phương trình (2) trở thành: \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} - \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 2 + \sqrt 3 \)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right)2t - 1 + {t^2}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {t^2}} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 3 + \sqrt 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t = \sqrt 3 }
\end{array}} \right.
\end{array}
\end{array}\)
+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
+ Với\(t = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = \sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\,(3)\)
\(\begin{array}{l}
(3) \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3 + \cos 2x\\
\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3 + \cos 2x\\
\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos 2x\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3 - \sqrt 2
\end{array}\)
Điều kiện có nghiệm của phương trình:
\({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
Khi đó: \(2 + {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} \ge {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \)
\(\Leftrightarrow 5 - 2\sqrt 2 \ge 11 - 6\sqrt 2 \) (không thỏa)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.